Topología de intervalos anidados

En matemáticas , más concretamente en topología general , la topología de intervalos anidados es un ejemplo de topología aplicada al intervalo abierto (0,1), es decir, el conjunto de todos los números reales x tales que 0 < x < 1. El intervalo abierto (0,1) es el conjunto de todos los números reales entre 0 y 1, pero sin incluir ni el 0 ni el 1.

Darle una topología al conjunto (0,1) significa decir qué subconjuntos de (0,1) son "abiertos" y hacerlo de manera que se cumplan los siguientes axiomas : ^{[ 1 ]}

1. La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. El conjunto (0,1) y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.

Se requiere que el conjunto (0,1) y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, por lo que definimos (0,1) y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Los demás conjuntos abiertos en esta topología son todos de la forma (0,1 − 1/ n ), donde n es un número entero positivo mayor o igual que dos, es decir, n = 2, 3, 4, 5, ... . ^{[ 1 ]}

• La topología de intervalo anidado no es ni Hausdorff ni T1 . De hecho, si x es un elemento de (0,1), entonces la clausura del conjunto unitario { x } es el intervalo semiabierto [1 − 1/ n , 1) , donde n es máximo tal que n ≤ (1 − x ) − ^{1. [ 1 ]}
• La topología de intervalos anidados no es compacta . Sin embargo, es fuertemente Lindelöf, ya que solo hay una cantidad numerable de conjuntos abiertos. ^{[ 1 ]}
• La topología de intervalo anidado es hiperconectada y, por lo tanto, conectada . ^{[ 1 ]}
• La topología de intervalos anidados es Alexandrov . ^{[ 1 ]}