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Flujo

El flujo describe cualquier efecto que parece atravesar o viajar (ya sea que se mueva o no) a través de una superficie o sustancia. El flujo es un concepto de matemáticas aplica...

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El flujo describe cualquier efecto que parece atravesar o viajar (ya sea que se mueva o no) a través de una superficie o sustancia. El flujo es un concepto de matemáticas aplicadas y cálculo vectorial con numerosas aplicaciones en física . En los fenómenos de transporte , el flujo es una magnitud vectorial que describe la magnitud y la dirección del flujo de una sustancia o propiedad. En cálculo vectorial , el flujo es una magnitud escalar , definida como la integral de superficie de la componente perpendicular de un campo vectorial sobre una superficie. [ 1 ]

Terminología

La palabra flujo proviene del latín : fluxus significa "flujo" y fluere es "fluir". [ 2 ] Como fluxion , este término fue introducido en el cálculo diferencial por Isaac Newton .

El concepto de flujo de calor fue una contribución clave de Joseph Fourier en el análisis de los fenómenos de transferencia de calor. [ 3 ] Su tratado fundamental Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ), [ 4 ] define el flujo como una magnitud central y procede a derivar las expresiones ahora bien conocidas del flujo en términos de diferencias de temperatura a través de una placa, y luego, de manera más general, en términos de gradientes de temperatura o diferenciales de temperatura, a través de otras geometrías. Se podría argumentar, basándose en el trabajo de James Clerk Maxwell , [ 5 ] que la definición de transporte precede a la definición de flujo utilizada en electromagnetismo . La cita específica de Maxwell es:

En el caso de los flujos, debemos calcular la integral, sobre una superficie, del flujo que pasa por cada elemento de dicha superficie. El resultado de esta operación se denomina integral de superficie del flujo y representa la magnitud que atraviesa la superficie.

— James Clerk Maxwell

Según la definición de transporte, el flujo puede ser un vector único o un campo vectorial/función de la posición. En este último caso, el flujo se integra fácilmente sobre una superficie. En cambio, según la definición de electromagnetismo, el flujo es la integral sobre una superficie; no tiene sentido integrar un flujo de segunda definición, ya que se estaría integrando sobre una superficie dos veces. Por lo tanto, la cita de Maxwell solo tiene sentido si se utiliza el término "flujo" según la definición de transporte (y, además, si se trata de un campo vectorial en lugar de un vector único). Esto resulta irónico, ya que Maxwell fue uno de los principales desarrolladores de lo que hoy llamamos "flujo eléctrico" y "flujo magnético" según la definición de electromagnetismo. Sus nombres, de acuerdo con la cita (y la definición de transporte), serían "integral superficial del flujo eléctrico" e "integral superficial del flujo magnético", en cuyo caso el "flujo eléctrico" se definiría como "campo eléctrico" y el "flujo magnético" como "campo magnético". Esto implica que Maxwell concibió estos campos como flujos de algún tipo.

Dado un flujo según la definición del electromagnetismo, la densidad de flujo correspondiente , si se utiliza ese término, se refiere a su derivada a lo largo de la superficie integrada. Según el teorema fundamental del cálculo , la densidad de flujo correspondiente es un flujo según la definición de transporte. Dada una corriente, como la corriente eléctrica (carga por unidad de tiempo), la densidad de corriente también sería un flujo según la definición de transporte (carga por unidad de tiempo y por unidad de área). Debido a las definiciones contradictorias de flujo y a la intercambiabilidad de flujo , flujo y corriente en el lenguaje común, todos los términos utilizados en este párrafo se emplean a veces de forma indistinta y ambigua. En el resto de este artículo, los flujos concretos se utilizarán de acuerdo con su amplia aceptación en la literatura, independientemente de la definición de flujo a la que corresponda el término.

Flujo como caudal por unidad de área

En los fenómenos de transporte ( transferencia de calor , transferencia de masa y dinámica de fluidos ), el flujo se define como la tasa de flujo de una propiedad por unidad de área , que tiene las dimensiones [cantidad]·[tiempo] −1 ·[área] −1 . [ 6 ] El área es la superficie por la que fluye la propiedad. Por ejemplo, la cantidad de agua que fluye por una sección transversal de un río cada segundo dividida por el área de esa sección transversal, o la cantidad de energía solar que llega a un trozo de tierra cada segundo dividida por el área de ese trozo, son tipos de flujo.

Definición matemática general (transporte)

Las líneas de campo de un campo vectorial F a través de superficies con vector normal unitario n , el ángulo de n a F es θ . El flujo es una medida de cuánto del campo pasa a través de una superficie dada. F se descompone en componentes perpendicular (⊥) y paralela (‖) a n . Solo la componente paralela contribuye al flujo porque es la extensión máxima del campo que pasa a través de la superficie en un punto; la componente perpendicular no contribuye. Arriba: Tres líneas de campo a través de una superficie plana, una normal a la superficie, una paralela y una intermedia. Abajo: Línea de campo a través de una superficie curva , que muestra la configuración del vector normal unitario y el elemento de superficie para calcular el flujo.
Para calcular el flujo de un campo vectorial F (flechas rojas) a través de una superficie S, esta se divide en pequeñas regiones dS . El flujo a través de cada región es igual a la componente normal (perpendicular) del campo, que es el producto escalar de F ( x ) con el vector normal unitario n ( x ) (flechas azules) en el punto x, multiplicado por el área dS . La suma de F · n · dS para cada región de la superficie es el flujo a través de la superficie.

Aquí se presentan tres definiciones en orden creciente de complejidad. Cada una es un caso particular de lo siguiente. En todos los casos, el símbolo frecuente j (o J ) se utiliza para el flujo, q para la magnitud física que fluye, t para el tiempo y A para el área. Estos identificadores se escribirán en negrita solo cuando sean vectores.

Primero, el flujo como un escalar (único): j=IA,{\displaystyle j={\frac {I}{A}},} dónde I=límiteΔt→0ΔqΔt=dqdt.{\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.} En este caso, la superficie en la que se mide el flujo es fija y tiene un área A. Se supone que la superficie es plana y que el flujo es constante en todas partes con respecto a la posición y perpendicular a la superficie.

Segundo, el flujo como un campo escalar definido a lo largo de una superficie, es decir, una función de puntos en la superficie: j(pag)=∂I∂A(pag),{\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}I(A,pag)=dqdt(A,pag).{\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).} Como antes, se supone que la superficie es plana y que el flujo es perpendicular a ella en todos los puntos. Sin embargo, el flujo no tiene por qué ser constante. Ahora, q es una función de p , un punto de la superficie, y de A , un área. En lugar de medir el flujo total a través de la superficie, q mide el flujo a través del disco de área A centrado en p a lo largo de la superficie.

Finalmente, el flujo como un campo vectorial : j(pag)=∂I∂A(pag),{\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}I(A,pag)=argramometroaincógnitanorte^norte^pagdqdt(A,pag,norte^).{\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\;\mathbf {\hat {n}} _ {\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).} En este caso, no hay una superficie fija sobre la que estemos midiendo. q es una función de un punto, un área y una dirección (dada por un vector unitario).norte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }), y mide el flujo a través del disco de área A perpendicular a ese vector unitario. I se define seleccionando el vector unitario que maximiza el flujo alrededor del punto, ya que el flujo real se maximiza a través del disco perpendicular a él. Por lo tanto, el vector unitario maximiza de forma única la función cuando apunta en la "dirección real" del flujo. (Estrictamente hablando, esto es un abuso de notación porque el "arg max" no puede comparar vectores directamente; en su lugar, tomamos el vector con la norma más grande).

Propiedades

Estas definiciones directas pueden ser difíciles de aplicar en la práctica. Por ejemplo, la construcción arg max no se corresponde directamente con las mediciones empíricas, ya que con una veleta o similar se puede deducir fácilmente la dirección del flujo en un punto. En lugar de definir el flujo vectorial directamente, suele ser más intuitivo enunciar algunas de sus propiedades. Además, a partir de estas propiedades, el flujo puede determinarse de forma unívoca.

Si el flujo j pasa a través del área formando un ángulo θ con la normal al áreanorte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }, luego el producto escalarj⋅norte^=jporque⁡θ.{\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .} Es decir, la componente del flujo que atraviesa la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ , mientras que la componente del flujo que pasa tangencialmente al área es j sin θ , pero en realidad no hay flujo que atraviese el área en la dirección tangencial. La única componente del flujo que pasa normal al área es la componente coseno.

Para el flujo vectorial, la integral de superficie de j sobre una superficie S proporciona el flujo adecuado por unidad de tiempo a través de la superficie: dqdt=∬Sj⋅norte^dA=∬Sj⋅dA,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,} donde A (y su infinitesimal) es el área vectorial – combinación A=Anorte^{\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }de la magnitud del área A a través de la cual pasa la propiedad y un vector unitarionorte^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }normal al área. A diferencia del segundo conjunto de ecuaciones, la superficie aquí no tiene por qué ser plana.

Finalmente, podemos integrar de nuevo sobre la duración de tiempo t 1 a t 2 , obteniendo la cantidad total de la propiedad que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t 2  − t 1 ):  q=∫t1t2∬Sj⋅dAdt.{\displaystyle q=\int _ {t_ {1}}^{t_ {2}}\iint _ {S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} \,dt.}

flujos de transporte

Ocho de las formas más comunes de flujo, según la literatura sobre fenómenos de transporte, se definen de la siguiente manera:

  1. Flujo de momento , la tasa de transferencia de momento a través de un área unitaria (N·s·m −2 ·s −1 ). ( Ley de viscosidad de Newton ) [ 7 ]
  2. Flujo de calor , la tasa de flujo de calor a través de un área unitaria (J·m⁻² · s⁻¹ ) . ( Ley de conducción de Fourier ) [ 8 ] (Esta definición de flujo de calor se ajusta a la definición original de Maxwell). [ 5 ]
  3. Flujo de difusión , la tasa de movimiento de moléculas a través de un área unitaria (mol·m⁻² · s⁻¹ ) . ( Ley de difusión de Fick ) [ 7 ]
  4. Flujo volumétrico , la tasa de flujo volumétrico a través de una unidad de área (m³ · m⁻² · s⁻¹ ) . ( Ley de Darcy del flujo de aguas subterráneas )
  5. Flujo másico : tasa de flujo de masa a través de una unidad de área (kg·m⁻² · s⁻¹ ) . (Ya sea una forma alternativa de la ley de Fick que incluya la masa molecular, o una forma alternativa de la ley de Darcy que incluya la densidad).
  6. Flujo radiativo , la cantidad de energía transferida en forma de fotones a una cierta distancia de la fuente por unidad de área por segundo (J·m⁻² · s⁻¹ ) . Se utiliza en astronomía para determinar la magnitud y la clase espectral de una estrella. También actúa como una generalización del flujo de calor, que es igual al flujo radiativo cuando se restringe al espectro electromagnético.
  7. Flujo de energía , la tasa de transferencia de energía a través de una unidad de área (J·m⁻² · s⁻¹ ) . El flujo radiativo y el flujo de calor son casos específicos de flujo de energía.
  8. Flujo de partículas , la tasa de transferencia de partículas a través de un área unitaria ([número de partículas] m −2 ·s −1 )

Estos flujos son vectores en cada punto del espacio y poseen una magnitud y dirección definidas. Además, se puede calcular la divergencia de cualquiera de estos flujos para determinar la tasa de acumulación de la magnitud en un volumen de control alrededor de un punto dado en el espacio. Para un flujo incompresible , la divergencia del flujo volumétrico es cero.

difusión química

Como se mencionó anteriormente, el flujo molar químico de un componente A en un sistema isotérmico e isobárico se define en la ley de difusión de Fick como: JA=−DAB∇doA{\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}} donde el símbolo nabla ∇ denota el operador gradiente , D AB es el coeficiente de difusión (m 2 ·s −1 ) del componente A que se difunde a través del componente B, c A es la concentración ( mol /m 3 ) del componente A. [ 9 ]

Este flujo tiene unidades de mol·m −2 ·s −1 , y se ajusta a la definición original de flujo de Maxwell. [ 5 ]

Para gases diluidos, la teoría cinético-molecular relaciona el coeficiente de difusión D con la densidad de partículas n = N / V , la masa molecular m y la sección transversal de colisión.σ{\displaystyle \sigma }y la temperatura absoluta T por D=23norteσkTπmetro{\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}} donde el segundo factor es el camino libre medio y la raíz cuadrada (con la constante de Boltzmann k ) es la velocidad media de las partículas.

En flujos turbulentos, el transporte por movimiento de remolinos puede expresarse como un coeficiente de difusión considerablemente aumentado.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las partículas de masa m en el estado cuántico ψ ( r , t ) tienen una densidad de probabilidad definida como ρ=ψ∗ψ=|ψ|2.{\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}.} Entonces, la probabilidad de encontrar una partícula en un elemento de volumen diferencial d 3 r es dPAG=|ψ|2d3r.{\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} .} Entonces, el número de partículas que pasan perpendicularmente a través de una unidad de área de una sección transversal por unidad de tiempo es el flujo de probabilidad; J=iℏ2metro(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ).{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right).} A veces se la denomina corriente de probabilidad o densidad de corriente, [ 10 ] o densidad de flujo de probabilidad. [ 11 ]

Flujo como integral de superficie

Definición matemática general (integral de superficie)

Visualización del flujo. Los anillos muestran los límites de la superficie. Las flechas rojas representan el flujo de cargas, partículas de fluido, partículas subatómicas, fotones, etc. El número de flechas que atraviesan cada anillo indica el flujo.

Como concepto matemático, el flujo se representa mediante la integral de superficie de un campo vectorial , [ 12 ].ΦF=∬AF⋅dA{\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }ΦF=∬AF⋅nortedA{\displaystyle \Phi _{F}=\iint _{A}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} A} donde F es un campo vectorial y d A es el área vectorial de la superficie A , dirigida como la normal a la superficie . Para el segundo, n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la superficie.

La superficie debe ser orientable , es decir, se pueden distinguir dos lados: la superficie no se pliega sobre sí misma. Además, la superficie debe estar orientada, es decir, se utiliza una convención para determinar en qué dirección fluir se considera positivo; fluir hacia atrás se considera negativo.

La normal a la superficie generalmente se dirige mediante la regla de la mano derecha .

Por el contrario, se puede considerar el flujo como la magnitud más fundamental y denominar al campo vectorial densidad de flujo.

A menudo, un campo vectorial se representa mediante curvas (líneas de campo) que siguen el "flujo"; la magnitud del campo vectorial es entonces la densidad de líneas, y el flujo a través de una superficie es el número de líneas. Las líneas se originan en áreas de divergencia positiva (fuentes) y terminan en áreas de divergencia negativa (sumideros).

Véase también la imagen de la derecha: el número de flechas rojas que atraviesan un área unitaria representa la densidad de flujo, la curva que rodea las flechas rojas indica el límite de la superficie, y la orientación de las flechas con respecto a la superficie indica el signo del producto escalar del campo vectorial con las normales de la superficie.

Si la superficie encierra una región 3D, normalmente la superficie está orientada de tal manera que el flujo de entrada se cuenta como positivo; lo opuesto es el flujo de salida .

El teorema de la divergencia establece que el flujo neto de salida a través de una superficie cerrada, en otras palabras, el flujo neto de salida de una región 3D, se encuentra sumando el flujo neto de salida local de cada punto de la región (que se expresa mediante la divergencia ).

Si la superficie no es cerrada, tiene una curva orientada como frontera. El teorema de Stokes establece que el flujo del rotacional de un campo vectorial es la integral de línea del campo vectorial sobre esta frontera. Esta integral de trayectoria también se denomina circulación , especialmente en dinámica de fluidos. Por lo tanto, el rotacional es la densidad de circulación.

Podemos aplicar el flujo y estos teoremas a muchas disciplinas en las que vemos corrientes, fuerzas, etc., aplicadas a través de áreas.

Electromagnetismo

flujo eléctrico

Una "carga" eléctrica, como un protón en el espacio, tiene una magnitud definida en culombios. Dicha carga posee un campo eléctrico a su alrededor. Gráficamente, el campo eléctrico de una carga puntual positiva puede visualizarse como un punto que irradia líneas de campo eléctrico (a veces también llamadas "líneas de fuerza"). Conceptualmente, el flujo eléctrico puede entenderse como "el número de líneas de campo" que atraviesan un área determinada. Matemáticamente, el flujo eléctrico es la integral de la componente normal del campo eléctrico sobre un área determinada. Por lo tanto, las unidades de flujo eléctrico son, en el sistema MKS , newtons por culombio por metro cuadrado, o N m² / C. (La densidad de flujo eléctrico es el flujo eléctrico por unidad de área y es una medida de la intensidad de la componente normal del campo eléctrico promediada sobre el área de integración. Sus unidades son N/C, las mismas que el campo eléctrico en unidades MKS).

Se utilizan dos formas de flujo eléctrico , una para el campo E : [ 13 ] [ 14 ]

Φmi={\displaystyle \Phi _{E}=}\oiintA{\displaystyle {\scriptstyle A}}mi⋅dA{\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }

y una para el campo D (llamado desplazamiento eléctrico ):

ΦD={\displaystyle \Phi _{D}=}\oiintA{\displaystyle {\scriptstyle A}}D⋅dA{\displaystyle \mathbf {D} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }

Esta cantidad surge en la ley de Gauss , que establece que el flujo del campo eléctrico E que sale de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica Q A encerrada en la superficie (independientemente de cómo se distribuya esa carga), la forma integral es:

\oiintA{\displaystyle {\scriptstyle A}}mi⋅dA=QAε0{\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} ={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}}

donde ε 0 es la permitividad del espacio libre .

Si se considera el flujo del vector de campo eléctrico, E , para un tubo cerca de una carga puntual en el campo de la carga pero sin contenerla, con lados formados por líneas tangentes al campo, el flujo en los lados es cero y hay un flujo igual y opuesto en ambos extremos del tubo. Esto es consecuencia de la ley de Gauss aplicada a un campo inverso al cuadrado. El flujo para cualquier superficie de sección transversal del tubo será el mismo. El flujo total para cualquier superficie que rodea una carga q es q / ε 0 . [ 15 ]

En el espacio libre, el desplazamiento eléctrico viene dado por la relación constitutiva D = ε₀E , por lo que para cualquier superficie límite, el flujo del campo D es igual a la carga QA dentro de ella. Aquí , la expresión "flujo de" indica una operación matemática y, como puede verse, el resultado no es necesariamente un "flujo", ya que en realidad nada fluye a lo largo de las líneas de campo eléctrico.

flujo magnético

La densidad de flujo magnético ( campo magnético ) que tiene la unidad Wb/m 2 ( tesla ) se denota por B , y el flujo magnético se define de forma análoga: [ 13 ] [ 14 ]ΦB=∬AB⋅dA{\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} } con la misma notación anterior. La cantidad surge en la ley de inducción de Faraday , donde el flujo magnético depende del tiempo, ya sea porque el límite depende del tiempo o porque el campo magnético depende del tiempo. En forma integral: −dΦBdt=∮∂Ami⋅dℓ{\displaystyle -{\frac {{\rm {d}}\Phi _{B}}{{\rm {d}}t}}=\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}} donde d ℓ es un elemento de línea vectorial infinitesimal de la curva cerrada.∂A{\displaystyle \partial A}, con magnitud igual a la longitud del elemento de línea infinitesimal y dirección dada por la tangente a la curva∂A{\displaystyle \partial A}, con el signo determinado por la dirección de integración.

La tasa de cambio temporal del flujo magnético a través de una espira de alambre es igual al valor negativo de la fuerza electromotriz generada en dicho alambre. La dirección es tal que, si se permite el paso de corriente a través del alambre, la fuerza electromotriz generará una corriente que se opondrá al cambio en el campo magnético, produciendo un campo magnético opuesto a dicho cambio. Este es el principio fundamental de los inductores y de muchos generadores eléctricos .

flujo de Poynting

Utilizando esta definición, el flujo del vector de Poynting S sobre una superficie específica es la tasa a la que fluye la energía electromagnética a través de esa superficie, definida como antes: [ 14 ]

ΦS={\displaystyle \Phi _{S}=}\oiintA{\displaystyle {\scriptstyle A}}S⋅dA{\displaystyle \mathbf {S} \cdot {\rm {d}}\mathbf {A} }

El flujo del vector de Poynting a través de una superficie es la potencia electromagnética , o energía por unidad de tiempo , que la atraviesa. Este concepto se utiliza comúnmente en el análisis de la radiación electromagnética , pero también tiene aplicaciones en otros sistemas electromagnéticos.

Resulta confuso que el vector de Poynting a veces se denomine flujo de potencia , que es un ejemplo del primer uso de flujo, mencionado anteriormente. [ 16 ] Sus unidades son vatios por metro cuadrado (W/m 2 ).

Unidades de radiometría del SI

  1. ↑ Las organizaciones de normalización recomiendan que las magnitudes radiométricas se indiquen con el sufijo "e" (de "energético") para evitar confusiones con las magnitudes fotométricas o de fotones .
  2. 1 2 3 4 5 Símbolos alternativos que a veces se ven: W o E para energía radiante, P o F para flujo radiante, I para irradiancia, W para emitancia radiante.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Las cantidades espectrales dadas por unidad de frecuencia se denotan con el sufijo " ν " (letra griega nu , que no debe confundirse con la letra "v", que indica una cantidad fotométrica).
  4. 1 2 3 4 5 6 7 Las cantidades espectrales dadas por unidad de longitud de onda se denotan con el sufijo " λ ".
  5. 1 2 Las cantidades direccionales se denotan con el sufijo " Ω ".

Véase también

Notas

  1. ↑ Purcell, págs. 22–26
  2. ↑ Weekley, Ernest (1967). Diccionario etimológico del inglés moderno . Courier Dover Publications. pág.  581. ISBN 0-486-21873-2.
  3. ↑ Herivel, John (1975). Joseph Fourier: el hombre y el físico . Oxford: Clarendon Press. pp. 181–191 . ISBN  0-19-858149-1.
  4. ^ Fourier, José (1822). Théorie analytique de la chaleur (en francés). París: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081 . 
  5. 1 2 3 Maxwell, James Clerk (1892). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Courier Corporation. ISBN 0-486-60636-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  6. ↑ Bird, R. Byron ; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (1960). Fenómenos de transporte . Wiley. ISBN 0-471-07392-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  7. 1 2 P.M. Whelan; MJ Hodgeson (1978). Principios esenciales de física (2.ª ed.). John Murray. ISBN  0-7195-3382-1.
  8. ↑ Carslaw, HS; Jaeger, JC (1959). Conducción del calor en sólidos (Segunda edición). Oxford University Press. ISBN  0-19-853303-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  9. ↑ Welty; Wicks, Wilson y Rorrer (2001). Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa (4.ª ed.). Wiley. ISBN  0-471-38149-7.
  10. ↑ D. McMahon (2008). Mecánica cuántica desmitificada (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN  978-0-07-145546-6.
  11. ↑ Sakurai, JJ (1967). Mecánica cuántica avanzada . Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
  12. ↑ Murray R. Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Schaum's Outlines (2.ª ed.). McGraw Hill. pág. 100. ISBN   978-0-07-161545-7.
  13. 1 2 I.S. Grant; WR Phillips (2008). Electromagnetismo . Física de Manchester (2.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN  978-0-471-92712-9.
  14. 1 2 3 D.J. Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley . ISBN  978-81-7758-293-2.
  15. ↑ Las Lecciones de Física de Feynman Vol. II Cap. 4: Electrostática
  16. ↑ Wangsness, Roald K. (1986). Campos electromagnéticos (2.ª ed.). Wiley. ISBN  0-471-81186-6.pág. 357
  • Browne, Michael (2010). Física para ingeniería y ciencias, 2.ª edición . Schaum Outlines. Nueva York, Toronto: McGraw-Hill Publishing . ISBN 978-0-0716-1399-6.
  • Purcell, Edward (2013). Electricidad y magnetismo, 3.ª edición . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 978110-7014022.

Lecturas adicionales

  • Stauffer, PH (2006). "Flux Flummoxed: A Proposal for Consistent Usage" . Ground Water . 44 (2): 125– 128. Bibcode : 2006GrWat..44..125S . doi : 10.1111/j.1745-6584.2006.00197.x . PMID 16556188. S2CID 21812226 .  
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