Vector neutro

En estadística , y específicamente en el estudio de la distribución de Dirichlet , un vector neutro de variables aleatorias es aquel que exhibe un tipo particular de independencia estadística entre sus elementos. ^{[ 1 ]} En particular, cuando los elementos del vector aleatorio deben sumar una cierta cantidad, entonces un elemento del vector es neutro con respecto a los demás si la distribución del vector creada al expresar los elementos restantes como proporciones de su total es independiente del elemento que se omitió.

Un solo elemento${\displaystyle X_{i}}$de un vector aleatorio${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{k}}$es neutral si las proporciones relativas de todos los demás elementos son independientes de${\displaystyle X_{i}}$.

Formalmente, consideremos el vector de variables aleatorias.

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$

dónde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}=1.}$

Los valores${\displaystyle X_{i}}$se interpretan como longitudes cuya suma es la unidad. En diversos contextos, a menudo es deseable eliminar una proporción, por ejemplo${\displaystyle X_{1}}$y considere la distribución de los intervalos restantes dentro de la longitud restante. El primer elemento de${\displaystyle X}$, a saber${\displaystyle X_{1}}$se define como neutral si${\displaystyle X_{1}}$es estadísticamente independiente del vector

${\displaystyle X_{1}^{*}=\left({\frac {X_{2}}{1-X_{1}}},{\frac {X_{3}}{1-X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}}}\right).}$

Variable${\displaystyle X_{2}}$es neutral si${\displaystyle X_{2}/(1-X_{1})}$es independiente del intervalo restante: es decir,${\displaystyle X_{2}/(1-X_{1})}$ser independiente de

${\displaystyle X_{1,2}^{*}=\left({\frac {X_{3}}{1-X_{1}-X_{2}}},{\frac {X_{4}}{1-X_{1}-X_{2}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-X_{2}}}\right).}$

De este modo${\displaystyle X_{2}}$, visto como el primer elemento de${\displaystyle Y=(X_{2},X_{3},\ldots ,X_{k})}$, es neutral.

En general, variable${\displaystyle X_{j}}$es neutral si${\displaystyle X_{1},\ldots X_{j-1}}$es independiente de

${\displaystyle X_{1,\ldots ,j}^{*}=\left({\frac {X_{j+1}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{k}}{1-X_{1}-\cdots -X_{j}}}\right).}$

• Distribución de Dirichlet generalizada