Función de Nevanlinna

En matemáticas , en el campo del análisis complejo , una función de Nevanlinna es una función compleja que es una función analítica en el semiplano superior abierto.${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$y tiene una parte imaginaria no negativa . Una función de Nevanlinna mapea el semiplano superior sobre sí mismo o sobre una constante real, ^{[ 1 ]} pero no es necesariamente inyectiva ni sobreyectiva . Las funciones con esta propiedad también se conocen a veces como funciones de Herglotz , Pick o R.

Toda función de Nevanlinna N admite una representación

${\displaystyle N(z)=C+Dz+\int _{\mathbb {R} }{\bigg (}{\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}{\bigg )}\operatorname {d} \mu (\lambda ),\quad z\in {\mathcal {H}},}$

donde C es una constante real, D es una constante no negativa,${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es el semiplano superior , y μ es una medida de Borel en ℝ que satisface la condición de crecimiento.

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\operatorname {d} \mu (\lambda )}{1+\lambda ^{2}}}<\infty .}$

Por el contrario, toda función de esta forma resulta ser una función de Nevanlinna. Las constantes en esta representación están relacionadas con la función N mediante

${\displaystyle C=\Re {\big (}N(i){\big )}\qquad {\text{ y }}\qquad D=\lim _{y\rightarrow \infty }{\frac {N(iy)}{iy}}}$

y la medida de Borel μ se puede recuperar a partir de N empleando la fórmula de inversión de Stieltjes (relacionada con la fórmula de inversión para la transformación de Stieltjes ):

${\displaystyle \mu {\big (}(\lambda _{1},\lambda _{2}]{\big )}=\lim _{\delta \rightarrow 0}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\lambda _{1}+\delta }^{\lambda _{2}+\delta }\Im {\big (}N(\lambda +i\varepsilon ){\big )}\operatorname {d} \lambda .}$

Una representación muy similar de funciones también se denomina representación de Poisson . ^{[ 2 ]}

A continuación se presentan algunos ejemplos elementales de funciones de Nevanlinna (con cortes de rama elegidos adecuadamente en los tres primeros).${\displaystyle z}$puede ser reemplazado por${\displaystyle za}$para cualquier número real${\displaystyle a}$.)

• ${\displaystyle z^{p}{\text{ con }}0\leq p\leq 1}$

• ${\displaystyle -z^{p}{\text{ con }}-1\leq p\leq 0}$

Estas son inyectivas , pero cuando p no es igual a 1 o −1 no son sobreyectivas y pueden rotarse hasta cierto punto alrededor del origen, como por ejemplo:${\displaystyle i(z/i)^{p}~{\text{ with }}~-1\leq p\leq 1}$.

• Una hoja de${\displaystyle \ln(z)}$como el que tiene${\displaystyle f(1)=0}$.

• ${\displaystyle \tan(z)}$(un ejemplo que es sobreyectivo pero no inyectivo).

• Una transformación de Möbius

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

es una función de Nevanlinna si (suficiente pero no necesario)${\displaystyle {\overline {a}}d-b{\overline {c}}}$es un número real positivo y${\displaystyle \Im ({\overline {b}}d)=\Im ({\overline {a}}c)=0}$Esto equivale al conjunto de transformaciones que mapean el eje real sobre sí mismo. Luego se puede agregar cualquier constante en el semiplano superior y mover el polo al semiplano inferior, obteniendo así nuevos valores para los parámetros. Ejemplo:${\displaystyle {\frac {iz+i-2}{z+1+i}}}$

• ${\displaystyle 1+i+z}$y${\displaystyle i+\operatorname {e} ^{iz}}$son ejemplos que son funciones enteras . La segunda no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
• Si S es un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert y${\displaystyle f}$es un vector arbitrario, entonces la función

${\displaystyle \langle (S-z)^{-1}f,f\rangle }$

es una función de Nevanlinna.

• Si${\displaystyle M(z)}$y${\displaystyle N(z)}$son ambas funciones de Nevanlinna, entonces la composición${\displaystyle M{\big (}N(z){\big )}}$También es una función de Nevanlinna.

Las funciones de Nevanlinna aparecen en el estudio de las funciones monótonas de operadores .