Funciones theta de Neville

En matemáticas, las funciones theta de Neville , llamadas así en honor a Eric Harold Neville , ^[1] se definen de la siguiente manera: ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

donde: K(m) es la integral elíptica completa de primer tipo, , y es el nomo elíptico. ${\displaystyle K'(m)=K(1-m)}$${\displaystyle q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}}$

Nótese que las funciones θ _p (z,m) a veces se definen en términos del nombre q(m) y se escriben θ _p (z,q) (por ejemplo, NIST ^[5] ). Las funciones también se pueden escribir en términos del parámetro τ θ _p (z|τ) donde . ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau}}$

Las funciones theta de Neville pueden expresarse en términos de las funciones theta de Jacobi ^[5]

${\displaystyle \theta _{s}(z|\tau )=\theta _{3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_ {1}(0|\tau)}$

${\displaystyle \theta _ {c}(z|\tau )=\theta _ {2}(z'|\tau )/\theta _ {2}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _ {n}(z|\tau )=\theta _ {4}(z'|\tau )/\theta _ {4}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _ {d}(z|\tau )=\theta _ {3}(z'|\tau )/\theta _ {3}(0|\tau )}$

dónde . ${\displaystyle z'=z/\theta _ {3}^{2}(0|\tau )}$

Las funciones theta de Neville están relacionadas con las funciones elípticas de Jacobi . Si pq(u,m) es una función elíptica de Jacobi (p y q son uno de s,c,n,d), entonces

${\displaystyle \operatorname {pq}(u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}.}$

• ${\displaystyle \theta _{c}(2,5,0,3)\aproximadamente -0,65900466676738154967}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(2,5,0,3)\aproximadamente 0,95182196661267561994}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(2,5,0,3)\aproximadamente 1,0526693354651613637}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(2,5,0,3)\aproximadamente 0,82086879524530400536}$

• ${\displaystyle \theta_{c}(z,m)=\theta_{c}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta_{d}(z,m)=\theta_{d}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta_{n}(z,m)=\theta_{n}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta_{s}(z,m)=-\theta_{s}(-z,m)}$

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Neville, EH (Eric Harold) (1944). Funciones elípticas jacobianas. Oxford Clarendon Press.
• Weisstein, Eric W. "Funciones theta de Neville". MathWorld .