La conjetura de Newman

En matemáticas , específicamente en teoría de números , la conjetura de Newman es una conjetura sobre el comportamiento de la función de partición módulo cualquier entero. Específicamente, afirma que para cualesquiera enteros m y r tales que${\displaystyle 0\leq r\leq m-1}$, el valor de la función de partición${\displaystyle p(n)}$satisface la congruencia${\displaystyle p(n)\equiv r{\pmod {m}}}$para infinitos enteros no negativos n . Fue formulado por el matemático Morris Newman en 1960. ^{[ 1 ]} Permanece sin resolver a fecha de 2026 .

Oddmund Kolberg fue probablemente el primero en demostrar un resultado relacionado, a saber, que la función de partición toma valores pares e impares infinitamente. La demostración empleada era de naturaleza elemental y fácilmente accesible, y fue propuesta como ejercicio por Newman en el American Mathematical Monthly . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Un año después, en 1960, Newman propuso la conjetura y demostró los casos m = 5 y 13 en su artículo original, ^{[ 1 ]} y m = 65 dos años después. ^{[ 5 ]}

Ken Ono , un matemático estadounidense, realizó nuevos avances al demostrar condiciones suficientes para que la conjetura se cumpla para un número primo m . Primero demostró que la conjetura de Newman se cumple para un número primo m si para cada r entre 0 y m −1 , existe un entero no negativo n tal que se cumple lo siguiente:

• ${\displaystyle 24\mid mn+1}$
• ${\displaystyle p\left({\frac {mn+1}{24}}\right)\equiv r{\pmod {m}}}$

Utilizó el resultado, junto con un programa informático, para demostrar la conjetura para todos los primos menores que 1000, excepto 3. ^{[ 6 ]} Ahlgren amplió su resultado para demostrar que la condición de Ono es, de hecho, verdadera para todos los números compuestos coprimos con 6. ^{[ 7 ]}

Tres años después, Ono demostró que para cada número primo m mayor que 3, debe cumplirse una de las siguientes condiciones:

• La conjetura de Newman se cumple para m , o
• ${\displaystyle m\mid p(mn+k)}$para todos los enteros no negativos n y${\displaystyle 1\leq k<24,24k\equiv 1{\pmod {m}}}$.

Utilizando una computadora, demostró el teorema para todos los números primos menores que 200.000, excepto el 3. ^{[ 8 ]}

Posteriormente, Ahlgren y Boylan utilizaron el criterio de Ono para extender la conjetura de Newman a todos los primos excepto posiblemente 3. ^{[ 9 ]} Dos años después, extendieron su resultado a todas las potencias de primos excepto las potencias de 2 o 3. ^{[ 10 ]}

La afirmación más débil que${\displaystyle p(n)\equiv 0{\pmod {m}}}$Se ha demostrado que existe al menos una solución para todos los números primos m . Anteriormente se conocía como la conjetura de Erdős-Ivić , llamada así en honor a los matemáticos Paul Erdős y Aleksandar Ivić . Fue resuelta por A. Schinzel . ^{[ 6 ]}