Las identidades de Newton

Sean x ₁ , ..., x _n variables, denotemos para k ≥ 1 por p _k ( x ₁ , ..., x _n ) la suma de potencias k :

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

y para k ≥ 0 denotamos por e _k ( x ₁ , ..., x _n ) el polinomio simétrico elemental (es decir, la suma de todos los productos distintos de k variables distintas), por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\&\;\;\vdots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{para}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

Entonces, las identidades de Newton se pueden enunciar como

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

válido para todo k ≥ 1 , donde el tamaño de la izquierda es cero para k > n .

Concretamente, se obtiene para los primeros valores de k :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

La forma y validez de estas ecuaciones no dependen del número n de variables (aunque el punto donde el lado izquierdo se vuelve 0 sí depende, es decir, después de la n -ésima identidad), lo que permite enunciarlas como identidades en el anillo de funciones simétricas . En ese anillo se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente; aquí los lados izquierdos nunca se vuelven cero. Estas ecuaciones permiten expresar recursivamente e i _en términos de p _k ; para poder hacer lo inverso, se pueden reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{ 1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4}=e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{alineado}}}$

En general, tenemos

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

válido para todo n ≥ k ≥ 1 .

Además, uno tiene

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=kn}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

para todo k > n ≥ 1 .

El polinomio con raíces x _i puede expandirse como

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{nk},}$

donde los coeficientes${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$son los polinomios simétricos definidos anteriormente. Dadas las sumas de potencias de las raíces

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},}$

los coeficientes del polinomio con raíces${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$puede expresarse recursivamente en términos de sumas de potencias como

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\[4pt]-e_{1}&=-p_{1},\\[4pt]e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\[4pt]-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\[4pt]e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Formular polinomios de esta manera es útil para utilizar el método de Delves y Lyness ^{[ 1 ]} para encontrar los ceros de una función analítica.

Cuando el polinomio anterior es el polinomio característico de una matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$(en particular cuando${\displaystyle \mathbf {A} }$es la matriz compañera del polinomio), las raíces${\displaystyle x_{i}}$son los valores propios de la matriz, contados con su multiplicidad algebraica. Para cualquier entero positivo${\displaystyle k}$, la matriz${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$tiene como valores propios las potencias${\displaystyle x_{i}^{k}}$y cada valor propio${\displaystyle x_{i}}$de${\displaystyle \mathbf {A} }$contribuye con su multiplicidad a la del valor propio.${\displaystyle x_{i}^{k}}$de${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$. Entonces los coeficientes del polinomio característico de${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$están dadas por los polinomios simétricos elementales en esas potencias${\displaystyle x_{i}^{k}}$. En particular, la suma de los${\displaystyle x_{i}^{k}}$, que es el${\displaystyle k}$suma de potencia -ésima${\displaystyle p_{k}}$de las raíces del polinomio característico de${\displaystyle \mathbf {A} }$, viene dado por su traza :

$${\displaystyle p_{k}=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{k})\,.}$$

Las identidades de Newton ahora relatan las huellas de los poderes${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$a los coeficientes del polinomio característico de${\displaystyle \mathbf {A} }$Utilizándolos a la inversa para expresar los polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias, se pueden usar para encontrar el polinomio característico calculando solo las potencias.${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$y sus huellas.

Este cálculo requiere calcular las trazas de las potencias de la matriz.${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$y la resolución de un sistema triangular de ecuaciones. Ambas tareas pueden realizarse en la clase de complejidad NC (la resolución de un sistema triangular se puede realizar mediante el método de divide y vencerás). Por lo tanto, el polinomio característico de una matriz puede calcularse en NC. Según el teorema de Cayley-Hamilton , toda matriz satisface su polinomio característico, y una simple transformación permite hallar la matriz adjunta en NC.

La reorganización de los cálculos para darles una forma eficiente da lugar al algoritmo de Faddeev-LeVerrier (1840), cuya rápida implementación paralela se debe a L. Csanky (1976). Su desventaja radica en que requiere la división por enteros, por lo que, en general, el campo debe tener característica cero.

Para un n dado , los polinomios simétricos elementales e _k ( x ₁ ,..., x _n ) para k = 1,..., n forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos en x ₁ ,.... x _n : toda expresión polinómica en x _i que es invariante bajo todas las permutaciones de esas variables viene dada por una expresión polinómica en esos polinomios simétricos elementales, y esta expresión es única salvo equivalencia de expresiones polinómicas. Este es un hecho general conocido como el teorema fundamental de los polinomios simétricos , y las identidades de Newton proporcionan fórmulas explícitas en el caso de polinomios simétricos suma de potencias. Aplicado al polinomio mónico${\textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$Considerando todos los coeficientes a _k como parámetros libres, esto significa que toda expresión polinómica simétrica S ( x ₁ ,..., x _n ) en sus raíces puede expresarse como una expresión polinómica P ( a ₁ ,..., a _n ) en términos únicamente de sus coeficientes, es decir, sin necesidad de conocer las raíces. Este hecho también se deduce de consideraciones generales en la teoría de Galois (se consideran los a _k como elementos de un cuerpo base con raíces en un cuerpo de extensión cuyo grupo de Galois los permuta según el grupo simétrico completo, y el cuerpo fijo bajo todos los elementos del grupo de Galois es el cuerpo base).

Las identidades de Newton también permiten expresar los polinomios simétricos elementales en términos de polinomios simétricos de suma de potencias, lo que demuestra que cualquier polinomio simétrico puede expresarse también en términos de sumas de potencias. De hecho, las primeras n sumas de potencias también forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos.

Denotando por h _k el polinomio simétrico homogéneo completo (es decir, la suma de todos los monomios de grado k ), los polinomios de suma de potencias también satisfacen identidades similares a las de Newton, pero sin incluir signos negativos. Expresados ​​como identidades en el anillo de funciones simétricas , se leen 

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

válido para todo n ≥ k ≥ 1. Contrariamente a las identidades de Newton, los lados izquierdos no se vuelven cero para k grande , y los lados derechos contienen cada vez más términos distintos de cero. Para los primeros valores de k , se tiene 

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

Como se mencionó, las identidades de Newton se pueden usar para expresar recursivamente polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias. Para ello, es necesario introducir denominadores enteros, por lo que se puede realizar en el anillo Λ _Q de funciones simétricas con coeficientes racionales:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. ^{[ 2 ]} La fórmula general se puede expresar convenientemente como

${\displaystyle e_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(-p_{1},-1!\,p_{2},-2!\,p_{3},\ldots ,-(k-1)!\,p_{k}),}$

donde B _n es el polinomio exponencial de Bell completo . Esta expresión también conduce a la siguiente identidad para funciones generadoras:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}p_{k}\,t^{k}\right).}$

Aplicadas a un polinomio mónico, estas fórmulas expresan los coeficientes en términos de las sumas de potencias de las raíces: reemplace cada e _i por a _i y cada p _k por s _k .

Las relaciones análogas que involucran polinomios simétricos homogéneos completos pueden desarrollarse de manera similar, dando ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\h_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}),\\h_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}+{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}+3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\h_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}+{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}+{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}+6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}+6p_{4}),\\&~~\vdots \\h_{k}&=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +km_{k}=k \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{k}\geq 0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, en los que solo hay signos más. En términos del polinomio de Bell completo,

${\displaystyle h_{k}={\frac {1}{k!}}B_{k}(p_{1},0!\,p_{2},1!\,p_{3},\ldots ,(k-1)!\,p_{k}).}$

Estas expresiones corresponden exactamente a los polinomios de índice de ciclo de los grupos simétricos , si se interpretan las sumas de potencias p _i como indeterminadas: el coeficiente en la expresión para h _k de cualquier monomio p ₁ ^{m ₁} p ₂ ^{m ₂} ... p _l ^{m _l} es igual a la fracción de todas las permutaciones de k que tienen m ₁ puntos fijos, m ₂ ciclos de longitud  2, ..., y m _l ciclos de longitud l . Explícitamente, este coeficiente se puede escribir como${\displaystyle 1/N}$dónde${\textstyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})}$; este N es el número de permutaciones que conmutan con cualquier permutación dada π del tipo de ciclo dado. Las expresiones para las funciones simétricas elementales tienen coeficientes con el mismo valor absoluto, pero un signo igual al signo de π , es decir (−1) ^{m ₂ + m ₄ +...} .  

Esto se puede demostrar considerando el siguiente paso inductivo:

${\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}}$

Por analogía con la derivación de la función generadora de la${\displaystyle e_{n}}$, también podemos obtener la función generadora de la${\displaystyle h_{n}}$, en términos de sumas de potencias, como:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}}{k}}\,t^{k}\right).}$

Esta función generadora es, por lo tanto, la exponencial pletística de${\displaystyle p_{1}t=(x_{1}+\cdots +x_{n})t}$.

También se pueden utilizar las identidades de Newton para expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales, lo que no introduce denominadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}^{4}-4e_{2}e_{1}^{2}+4e_{3}e_{1}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\p_{5}&=e_{1}^{5}-5e_{2}e_{1}^{3}+5e_{3}e_{1}^{2}+5e_{2}^{2}e_{1}-5e_{4}e_{1}-5e_{3}e_{2}+5e_{5},\\p_{6}&=e_{1}^{6}-6e_{2}e_{1}^{4}+6e_{3}e_{1}^{3}+9e_{2}^{2}e_{1}^{2}-6e_{4}e_{1}^{2}-12e_{3}e_{2}e_{1}+6e_{5}e_{1}-2e_{2}^{3}+3e_{3}^{2}+6e_{4}e_{2}-6e_{6}.\end{aligned}}}$

Las primeras cuatro fórmulas fueron obtenidas por Albert Girard en 1629 (es decir, antes que Newton). ^{[ 3 ]}

La fórmula general (para todos los enteros positivos m ) es:

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.}$

Esto se puede expresar convenientemente en términos de polinomios de Bell ordinarios como

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),}$

o equivalentemente como la función generadora : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}p_{k}{\frac {t^{k}}{k}}&=\ln \left(1+e_{1}t+e_{2}t^{2}+e_{3}t^{3}+\cdots \right)\\&=e_{1}t-{\frac {1}{2}}\left(e_{1}^{2}-2e_{2}\right)t^{2}+{\frac {1}{3}}\left(e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3}\right)t^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

lo cual es análogo a la función generadora exponencial del polinomio de Bell dada en la subsección anterior .

La fórmula de suma múltiple anterior se puede demostrar considerando el siguiente paso inductivo:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\[8pt]={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[r_{1}(m-1)+\cdots +r_{n}(m-n)\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[m(r_{1}+\cdots +r_{n})-m\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}}$

Finalmente, se pueden utilizar las identidades variantes que involucran polinomios simétricos homogéneos completos de manera similar para expresar sumas de potencias en términos de ellos:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=+h_{1},\\p_{2}&=-h_{1}^{2}+2h_{2},\\p_{3}&=+h_{1}^{3}-3h_{2}h_{1}+3h_{3},\\p_{4}&=-h_{1}^{4}+4h_{2}h_{1}^{2}-4h_{3}h_{1}-2h_{2}^{2}+4h_{4},\\p_{5}&=+h_{1}^{5}-5h_{2}h_{1}^{3}+5h_{2}^{2}h_{1}+5h_{3}h_{1}^{2}-5h_{3}h_{2}-5h_{4}h_{1}+5h_{5},\\p_{6}&=-h_{1}^{6}+6h_{2}h_{1}^{4}-9h_{2}^{2}h_{1}^{2}-6h_{3}h_{1}^{3}+2h_{2}^{3}+12h_{3}h_{2}h_{1}+6h_{4}h_{1}^{2}-3h_{3}^{2}-6h_{4}h_{2}-6h_{1}h_{5}+6h_{6},\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Aparte de la sustitución de cada e _i por el correspondiente h _i , el único cambio con respecto a la familia de identidades anterior está en los signos de los términos, que en este caso dependen solo del número de factores presentes: el signo del monomio${\textstyle \prod _{i=1}^{l}h_{i}^{m_{i}}}$es −(−1) ^{m ₁ + m ₂ + m ₃ +...} . En particular, la descripción anterior del valor absoluto de los coeficientes también se aplica aquí.

La fórmula general (para todos los enteros no negativos m ) es:

${\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}}$

Se pueden obtener fórmulas explícitas para las expresiones anteriores en forma de determinantes, considerando las primeras n identidades de Newton (o sus contrapartes para los polinomios homogéneos completos) como ecuaciones lineales en las que se conocen las funciones simétricas elementales y se desconocen las sumas de potencias (o viceversa), y aplicando la regla de Cramer para encontrar la solución para la última incógnita. Por ejemplo, tomando las identidades de Newton en la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=1p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-1p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+1p_{3},\\&\,\,\,\vdots \\ne_{n}&=e_{n-1}p_{1}-e_{n-2}p_{2}+\cdots +(-1)^{n}e_{1}p_{n-1}+(-1)^{n-1}p_{n}\end{aligned}}}$

consideramos${\displaystyle p_{1},-p_{2},p_{3},\ldots ,(-1)^{n}p_{n-1}}$y${\displaystyle p_{n}}$como incógnitas, y resolver para la última, dando

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n-1}p_{n}={}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &\\e_{1}&1&0&\cdots \\e_{2}&e_{1}&1&\\\vdots &&\ddots &\ddots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&1\end{vmatrix}}^{-1}\\[7pt]p_{n}={(-1)^{n-1}}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}\\[7pt]={}&{\begin{vmatrix}e_{1}&1&0&\cdots \\2e_{2}&e_{1}&1&0&\cdots \\3e_{3}&e_{2}&e_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\ne_{n}&e_{n-1}&\cdots &&e_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Resolver para${\displaystyle e_{n}}$en lugar de para${\displaystyle p_{n}}$es similar, como los cálculos análogos para los polinomios simétricos homogéneos completos; en cada caso los detalles son un poco más desordenados que los resultados finales, que son (Macdonald 1979, p.  20):

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&n-1\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]p_{n}=(-1)^{n-1}&{\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\cdots \\2h_{2}&h_{1}&1&0&\cdots \\3h_{3}&h_{2}&h_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\nh_{n}&h_{n-1}&\cdots &&h_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]h_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&-1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&-2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&1-n\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el uso de determinantes hace que la fórmula para${\displaystyle h_{n}}$tiene signos menos adicionales en comparación con el de${\displaystyle e_{n}}$, mientras que la situación para la forma expandida dada anteriormente es opuesta. Como se señaló en (Littlewood 1950, p.  84) alternativamente se puede obtener la fórmula para${\displaystyle h_{n}}$tomando el permanente de la matriz para${\displaystyle e_{n}}$En lugar del determinante, y de forma más general, se puede obtener una expresión para cualquier polinomio de Schur tomando el inmanente correspondiente de esta matriz.

Podemos mostrar las relaciones entre e _k , p _k , y h _k a través de las funciones generadoras.$${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\P(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\sum _{j=1}^{n}\left(x_{j}t+(x_{j}t)^{2}+\ldots \right)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {x_{j}t}{1-x_{j}t}}\\H(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{j=1}^{n}\left(1+x_{j}t+(x_{j}t)^{2}+\ldots \right)=\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{j}t}}\,.\end{aligned}}}$$

La siguiente derivación, dada esencialmente en (Mead, 1992), se formula en el anillo de funciones simétricas para mayor claridad (todas las identidades son independientes del número de variables). Fijemos algún k > 0 y definamos la función simétrica r _k ( i ) para 2 ≤ i ≤ k como la suma de todos los monomios distintos de grado k obtenidos al multiplicar una variable elevada a la potencia i por k − i variables distintas (esta es la función simétrica monomial m _γ donde γ es una forma de gancho ( i ,1,1,...,1)) . En particular , r _k ( k ) = p _k ; para r _k (1) la descripción equivaldría a la de e _k , pero este caso se excluyó ya que aquí los monomios ya no tienen ninguna variable distinguida. Todos los productos p _i e _{k − i} pueden expresarse en términos de r _k ( j ) siendo el primer y el último caso algo especiales. Uno tiene 

${\displaystyle p_{i}e_{k-i}=r_{k}(i)+r_{k}(i+1)\quad {\text{for }}1<i<k}$

ya que cada producto de términos de la izquierda que involucra variables distintas contribuye a r _k ( i ) , mientras que aquellos donde la variable de p _i ya aparece entre las variables del término de e _{k − i} contribuyen a r _k ( i + 1) , y todos los términos de la derecha se obtienen así exactamente una vez. Para i = k se multiplica por e ₀ = 1 , dando trivialmente

${\displaystyle p_{k}e_{0}=p_{k}=r_{k}(k).}$

Finalmente, el producto p ₁ e _{k −1} para i = 1 aporta contribuciones a r _k ( i + 1) = r _k (2) como para otros valores i < k , pero las contribuciones restantes producen k veces cada monomio de e _k , ya que cualquiera de las variables puede provenir del factor p ₁ ; por lo tanto

${\displaystyle p_{1}e_{k-1}=ke_{k}+r_{k}(2).}$

La k -ésima identidad de Newton se obtiene ahora tomando la suma alternada de estas ecuaciones, en la que todos los términos de la forma r _k ( i ) se cancelan.

Doron Zeilberger dio una breve demostración combinatoria de las identidades de Newton en 1984. ^{[ 5 ]}