Problema de resistencia mínima de Newton

El problema de resistencia mínima de Newton es un problema de encontrar un sólido de revolución que experimenta una resistencia mínima cuando se mueve a través de un fluido homogéneo con velocidad constante en la dirección del eje de revolución, llamado así por Isaac Newton , quien estudió el problema en 1685 y lo publicó en 1687 en sus Principia Mathematica . ^{[1] [ página necesaria ]} Este es el primer ejemplo de un problema resuelto en lo que ahora se llama cálculo de variaciones , que apareció una década antes del problema de la braquistócrona . ^[2] Newton publicó la solución en Principia Mathematica sin su derivación, y David Gregory fue la primera persona que se acercó a Newton y lo persuadió de escribir un análisis para él. Luego, Gregory compartió la derivación con sus estudiantes y compañeros. ^[3]

Según I. Bernard Cohen , en su Guía de los Principia de Newton , «la clave del razonamiento de Newton se encontró en la década de 1880, cuando el conde de Portsmouth entregó la vasta colección de documentos científicos y matemáticos de Newton que poseía su familia a la Universidad de Cambridge. Entre los manuscritos de Newton encontraron el borrador de una carta… en la que Newton desarrollaba su argumento matemático. [Esto] nunca se entendió del todo, sin embargo, hasta la publicación de los principales documentos manuscritos por D. T. Whiteside [1974], cuyo comentario analítico e histórico ha permitido a los estudiantes de Newton no solo seguir completamente el camino de Newton hacia el descubrimiento y la prueba, sino también el recálculo posterior de Newton (1694) de la superficie de menor resistencia». ^{[4] [5]}

Aunque el modelo de Newton para el fluido era erróneo según nuestro entendimiento actual, el fluido que había considerado encuentra su aplicación en la teoría del flujo hipersónico como un caso límite. ^[6]

En la Proposición 34 del Libro 2 de los Principia, Newton escribió: "Si en un medio raro, consistente en partículas iguales dispuestas libremente a distancias iguales entre sí, un globo y un cilindro descritos en igual diámetro se mueven con velocidades iguales en la dirección del eje del cilindro, la resistencia del globo será sólo la mitad de grande que la del cilindro".

A continuación de esta proposición hay un escolio que contiene la famosa condición de que la curva que, al girar sobre su eje, genera el sólido que experimenta menos resistencia que cualquier otro sólido que tenga una longitud y un ancho fijos.

En su forma moderna, el problema de Newton consiste en minimizar la siguiente integral: ^{[7] [8]}

${\displaystyle I=\int {\frac {y{\punto {y}}^{3}}{1+{\punto {y}}^{2}}}\,dx,}$

donde representa la curva que genera un sólido cuando se gira sobre el  eje x , y${\estilo de visualización y(x)}$${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dx.}$

I es la reducción de la resistencia causada por las partículas que inciden sobre la superficie inclinada DNG, formada al rotar la curva, en lugar de perpendicularmente sobre la proyección horizontal de DNG sobre el disco trasero DA desde la dirección del movimiento, en la Fig. 1 a continuación. Nótese que el frente del sólido es el disco BG, los triángulos GBC y GBR no son parte de él, pero Newton los usa a continuación para expresar la condición mínima.

Esta integral está relacionada con la resistencia total que experimenta el cuerpo por la siguiente relación:

${\displaystyle \rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y{\punto {y}}^{3}}{1+{\punto {y}}^{2}}}\,dx.}$

El problema es encontrar la curva que genera el sólido que experimenta menos resistencia que cualquier otro sólido que tenga una longitud axial fija L y un ancho fijo H.

Como el sólido debe estrecharse en la dirección del movimiento, H es el radio del disco que forma la superficie trasera de la curva rotada alrededor del eje x  . Las unidades se eligen de modo que la constante de proporcionalidad sea la unidad. Además, tenga en cuenta que y la integral, que se evalúa entre x = 0 y x = L , es negativa. Sea y = h cuando x = L.${\displaystyle {\dot {y}}<0,}$

Cuando la curva es la línea horizontal DK, entonces el sólido es un cilindro, la integral es cero y la resistencia del cilindro es lo que explica el término constante. ${\displaystyle y=H,{\dot {y}}=0,}$${\displaystyle \rho =H^{2}/2,}$

La forma más sencilla de aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a este problema es reescribir la resistencia como

${\displaystyle \rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y}{1+{\dot {x}}^{2}}}\,dy,}$

donde , y la integral, que se evalúa entre y = H y y = h < H , es negativa. ${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dy}$

Sustituyendo el integrando en la ecuación de Euler-Lagrange ${\displaystyle F(y,{\dot {x}})=y/(1+{\dot {x}}^{2})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {-2{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}\right)={\frac {\partial F}{\partial x}}=0,}$

y se deduce que es constante, y esto se puede escribir como ${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle y=K_{1}{\frac {(1+p^{2})^{2}}{p^{3}}},\qquad (1)}$

donde , y es una constante. ${\displaystyle p=-{\dot {y}}>0}$${\displaystyle K_{1}>0}$

Aunque las curvas que satisfacen la condición mínima no pueden describirse mediante una función simple y = f ( x ), pueden representarse gráficamente utilizando p como parámetro, para obtener las coordenadas correspondientes ( x ,  y ) de las curvas. La ecuación de x en función de p se obtiene a partir de la condición mínima (1), y un equivalente de la misma fue hallado por primera vez por Newton.

Diferenciando:

${\displaystyle dy=-p\,dx=K_{1}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {3}{p^{4}}}\right)\,dp}$

e integrando:

${\displaystyle x=K_{2}-K_{1}\left(\ln p+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {3}{4p^{4}}}\right),}$

donde es una constante. ${\displaystyle K_{2}>0}$

Dado que cuando , y cuando , las constantes se pueden determinar en términos de H , h y L . Debido a que y de la ecuación (1) nunca puede ser cero o negativo, la superficie frontal de cualquier sólido que satisfaga la condición mínima debe ser un disco (GB en la Fig. 2 anterior). ${\displaystyle y=H}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle y=h}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle K_{1},K_{2}}$

Como se trataba del primer ejemplo de este tipo de problema, Newton tuvo que inventar un método de solución completamente nuevo. Además, profundizó mucho más en el análisis del problema que simplemente encontrar la condición (1).

Si bien un sólido de menor resistencia debe satisfacer (1), la inversa no es cierta. La figura 2 muestra la familia de curvas que la satisfacen para diferentes valores de . A medida que aumenta el radio, Bg = h, del disco en x = L disminuye y la curva se vuelve más empinada. ${\displaystyle K_{1}>0}$${\displaystyle K_{1}}$

Justo antes del problema de la resistencia mínima, Newton afirmó que si en cualquier figura elíptica u ovalada rotada sobre su eje, p se vuelve mayor que la unidad, se puede encontrar una con menor resistencia. Esto se logra reemplazando la parte del sólido que tiene p > 1 con el tronco de cono cuyo ángulo del vértice es un ángulo recto, como se muestra en la figura 2 para la curva . Esto tiene menos resistencia que . Newton no prueba esto, pero agrega que podría tener aplicaciones en la construcción naval. Whiteside proporciona una prueba y sostiene que Newton habría utilizado el mismo razonamiento. ${\displaystyle D\nu \phi \gamma B}$${\displaystyle D\nu \phi \Gamma B}$

En la Fig. 2, dado que el sólido generado a partir de la curva Dng satisface la condición mínima y tiene p < 1 en g, experimenta menos resistencia que la de cualquier otra curva con el mismo punto final g. Sin embargo, para la curva DνΓ, con p > 1 en el punto final Γ, este no es el caso ya que, aunque la curva satisface la condición mínima, la resistencia experimentada por φγ y γΓ juntas es menor que la de φΓ.

Newton concluyó que de todos los sólidos que satisfacen la condición de resistencia mínima, el que experimenta la menor resistencia, DNG en la Fig. 2, es el que tiene p = 1 en G. Esto se muestra esquemáticamente en la Fig. 3, donde la resistencia general del sólido varía en función del radio del disco de la superficie frontal, y el mínimo ocurre cuando h = BG, lo que corresponde a p = 1 en G.

En los Principia, en la figura 1, la condición para el sólido de resistencia mínima se traduce a una forma geométrica de la siguiente manera: trazar GR paralela a la tangente en N, de modo que , y la ecuación (1) se convierte en:${\displaystyle p={\frac {GB}{BR}}}$${\displaystyle {\frac {NM.GB^{3}}{BR^{3}(1+(GB/BR)^{2})^{2}}}={\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}=K_{1}}$

En G, , , y , por lo que aparece en los Principia en la forma: ${\displaystyle NM=BG}$${\displaystyle BR=BC=BG}$${\displaystyle GR^{2}=2BG^{2}}$${\displaystyle {\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}={\frac {GB}{4}}=K_{1}}$

${\displaystyle {\frac {NM}{GR}}={\frac {GR^{3}}{4BR.GB^{2}}}}$

Aunque esto parece bastante simple, tiene varias sutilezas que han causado mucha confusión.

En la figura 4, supongamos que DNSG es la curva que cuando gira alrededor de AB genera el sólido cuya resistencia es menor que la de cualquier otro sólido similar con las mismas alturas, AD = H, BG = h y longitud, AB = L.

La figura 5 muestra con más detalle la región infinitesimal de la curva en torno a N e I. Aunque NI, Nj y NJ son realmente curvas, se pueden aproximar mediante líneas rectas siempre que NH sea suficientemente pequeño.

Sea HM = y, AM = x, NH = u y HI = w = dx. Sea la tangente en cada punto de la curva, . La reducción de la resistencia del anillo inclinado NI en comparación con el anillo vertical NH girado alrededor de AB es (2) ${\displaystyle p=-{\frac {dy}{dx}}={\frac {u}{w}}}$${\displaystyle r={\frac {yp^{3}}{1+p^{2}}}dx={\frac {yu^{3}}{u^{2}+w^{2}}}}$

Sustituya el sólido de resistencia mínima por uno idéntico, excepto que el arco entre los puntos I y K se desplaza una pequeña distancia hacia la derecha o hacia la izquierda , como se muestra con más detalle en la figura 5. En cualquier caso, HI se convierte en . ${\displaystyle IJ=KL=o>0}$${\displaystyle Ij=Kl=o<0}$${\displaystyle HJ,Hj=w+o}$

La resistencia de los arcos de la curva DN y SG no cambia. Además, la resistencia del arco IK no cambia al desplazarse, ya que la pendiente permanece igual a lo largo de su longitud. El único cambio en la resistencia total de DNSG se debe al cambio en el gradiente de los arcos NI y KS. Los 2 desplazamientos deben ser iguales para que la pendiente del arco IK no se vea afectada y la nueva curva termine en G.

La nueva resistencia debida a las partículas que inciden sobre NJ o Nj, en lugar de NI, es:

${\displaystyle r+\delta r={\frac {yu^{3}}{u^{2}+(w+o)^{2}}}=r-{\frac {2ywu^{3}o}{(u^{2}+w^{2})^{2}}}}$+ w.(términos en potencias ascendentes comenzando con el 2do). ${\displaystyle {\frac {o}{w}}}$

El resultado es un cambio de resistencia de: + términos de orden superior, reduciéndose la resistencia si o > 0 (NJ menos resistido que NI). ${\displaystyle -{\frac {2NM.HI.HN^{3}o}{NI^{4}}}}$

Esta es la derivación original de 1685, en la que obtiene el resultado anterior utilizando la expansión en serie en potencias de o. En su revisión de 1694, diferencia (2) con respecto a w. Envió detalles de su enfoque posterior a David Gregory, y estos se incluyen como apéndice en la traducción de Motte de los Principia.

De manera similar, el cambio en la resistencia debido a las partículas que inciden sobre SL o Sl en lugar de SK es: + términos de orden superior. ${\displaystyle +{\frac {2TS.OK.OS^{3}o}{SK^{4}}}}$

El cambio total en la resistencia del sólido completo, + w.(términos en potencias ascendentes comenzando con el 2do). ${\displaystyle \delta \rho =(-{\frac {2NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}+{\frac {2TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}})o}$${\displaystyle {\frac {o}{w}}}$

La figura 6 representa la resistencia total de DNJLSG o DNjlSG en función de o. Dado que la curva original DNIKSG tiene la menor resistencia, cualquier cambio de o, sea cual sea el signo, debe dar como resultado un aumento de la resistencia. Esto solo es posible si el coeficiente de o en la expansión de es cero, por lo que: ${\displaystyle \rho (o)}$

${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}={\frac {TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}}}$ (2)

Si no fuera así, sería posible elegir un valor de o con un signo que produjera una curva DNJLSG, o DNjlSG con menor resistencia que la curva original, contrariamente a la suposición inicial. La aproximación de tomar líneas rectas para los arcos finitos, NI y KS, se vuelve exacta en el límite a medida que HN y OS se acercan a cero. Además, NM y HM pueden tomarse como iguales, al igual que OT y ST.

Sin embargo, N y S en la curva original son puntos arbitrarios, por lo que para 2 puntos cualesquiera en cualquier parte de la curva debe aplicarse la igualdad anterior. Esto solo es posible si en el límite de cualquier arco infinitesimal HI, en cualquier parte de la curva, se cumple la expresión,

${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}}$es una constante. (3)

Este tiene que ser el caso ya que, si se fuera a variar a lo largo de la curva, sería posible encontrar 2 arcos infinitesimales NI y KS tales que (2) fuera falsa, y el coeficiente de o en la expansión de sería distinto de cero. Entonces se podría producir un sólido con menos resistencia eligiendo un valor adecuado de o. ${\displaystyle {\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}}$${\displaystyle \delta \rho }$

Esta es la razón del término constante en la condición mínima en (3). Como se señaló anteriormente, Newton fue más allá y afirmó que la resistencia del sólido es menor que la de cualquier otro con la misma longitud y anchura, cuando la pendiente en G es igual a la unidad. Por lo tanto, en este caso, la constante en (3) es igual a un cuarto del radio del disco frontal del sólido, . ${\displaystyle {\frac {GB}{4}}}$