Ley de enfriamiento de Newton

En el estudio de la transferencia de calor , la ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno. Esta ley suele matizarse para incluir la condición de que la diferencia de temperatura sea pequeña y que el mecanismo de transferencia de calor permanezca invariable. Por lo tanto, equivale a afirmar que el coeficiente de transferencia de calor , que relaciona las pérdidas de calor con las diferencias de temperatura, es una constante.

En la conducción de calor , la ley de Newton se cumple generalmente como consecuencia de la ley de Fourier . La conductividad térmica de la mayoría de los materiales depende poco de la temperatura, por lo que la condición de coeficiente de transferencia de calor constante suele cumplirse. En la transferencia de calor por convección , la ley de Newton se cumple para la refrigeración por aire forzado o fluido bombeado, donde las propiedades del fluido no varían mucho con la temperatura, pero solo es aproximadamente válida para la convección impulsada por flotabilidad, donde la velocidad del flujo aumenta con la diferencia de temperatura. En el caso de la transferencia de calor por radiación térmica , la ley de refrigeración de Newton solo se cumple para diferencias de temperatura muy pequeñas.

Cuando se expresa en términos de diferencias de temperatura, la ley de Newton (con varias suposiciones simplificadoras adicionales, como un número de Biot bajo y una capacidad calorífica independiente de la temperatura ) resulta en una ecuación diferencial simple que expresa la diferencia de temperatura en función del tiempo . La solución de dicha ecuación describe una disminución exponencial de la diferencia de temperatura con el tiempo. Esta disminución característica de la diferencia de temperatura también está asociada con la ley de enfriamiento de Newton.

Antecedentes históricos

Isaac Newton publicó su trabajo sobre enfriamiento de forma anónima en 1701 como "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa." en Philosophical Transactions . ^{[ 1 ]} Fue la primera formulación de transferencia de calor y sirve como base formal de la transferencia de calor por convección . ^{[ 2 ]}

Newton no enunció originalmente su ley en la forma anterior en 1701. Más bien, utilizando la terminología actual, Newton observó, tras realizar algunas manipulaciones matemáticas, que la tasa de cambio de temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y su entorno. Esta versión final y más simple de la ley, dada por el propio Newton, se debió en parte a la confusión existente en su época entre los conceptos de calor y temperatura, que no se aclararían por completo hasta mucho más tarde. ^{[ 3 ]}

En 2020, Maruyama y Moriya repitieron los experimentos de Newton con aparatos modernos y aplicaron técnicas modernas de reducción de datos. ^{[ 4 ]} En particular, estos investigadores tuvieron en cuenta la radiación térmica a altas temperaturas (como en el caso de los metales fundidos que utilizó Newton) y consideraron los efectos de la flotabilidad en el flujo de aire. Al compararlos con los datos originales de Newton, concluyeron que sus mediciones (de 1692 a 1693) habían sido "bastante precisas". ^{[ 4 ]}

Relación con el mecanismo de enfriamiento

A veces se dice que la refrigeración por convección se rige por la "ley de Newton". Cuando el coeficiente de transferencia de calor es independiente, o relativamente independiente, de la diferencia de temperatura entre el objeto y el entorno, se cumple la ley de Newton. Esta ley se cumple bien en la refrigeración por aire forzado y por líquido bombeado, donde la velocidad del fluido no aumenta con la diferencia de temperatura. La ley de Newton se cumple con mayor precisión en la refrigeración por conducción pura. Sin embargo, en la transferencia de calor por convección natural (impulsada por la flotabilidad), el coeficiente de transferencia de calor depende de la diferencia de temperatura. En ese caso, la ley de Newton solo se aproxima al resultado cuando la diferencia de temperatura es relativamente pequeña. El propio Newton era consciente de esta limitación.

En 1817, Dulong y Petit realizaron una corrección a la ley de Newton relativa a la convección para grandes diferencias de temperatura, mediante la inclusión de un exponente . ^{[ 5 ]} (Estos hombres son más conocidos por su formulación de la ley de Dulong-Petit relativa a la capacidad calorífica específica molar de un cristal).

Otra situación que no obedece a la ley de Newton es la transferencia de calor por radiación . El enfriamiento radiativo se describe mejor mediante la ley de Stefan-Boltzmann, en la que la tasa de transferencia de calor varía como la diferencia de las temperaturas absolutas del objeto y de su entorno elevadas a la cuarta potencia.

Formulación matemática

La formulación de la ley de Newton utilizada en la literatura sobre transferencia de calor expresa matemáticamente la idea de que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y su entorno . Para un coeficiente de transferencia de calor independiente de la temperatura, la formulación es:

$q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),$ dónde

$q$ es el flujo de calor transferido fuera del cuerpo (unidad SI: vatio /m2 ⁾ ,
$h$ es el coeficiente de transferencia de calor (se supone independiente de T y se promedia sobre la superficie) (unidad del SI: W/(m ² ⋅K)),
$T$ es la temperatura de la superficie del objeto (unidad SI: K),
$T_{\text{env}}$ es la temperatura del ambiente; es decir, la temperatura a una distancia adecuada de la superficie (unidad del SI: K),
$\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ es la temperatura dependiente del tiempo en el entorno y el objeto (unidad SI: K).

En parámetros globales, al integrar el flujo de calor sobre la superficie, también se puede expresar como:

${\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,$ dónde

${\dot {Q}}$ es la tasa de transferencia de calor fuera del cuerpo (unidad SI: vatio ), ${\dot {Q}}=\oint _{A}qdA$
$h$ es el coeficiente de transferencia de calor (se supone independiente de T y se promedia sobre la superficie) (unidad del SI: W/(m ² ⋅K)),
$A$ es el área de superficie de transferencia de calor (unidad SI: m ² ),
$T$ es la temperatura de la superficie del objeto (unidad SI: K),
$T_{\text{env}}$ es la temperatura del ambiente; es decir, la temperatura a una distancia adecuada de la superficie (unidad del SI: K),
$\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ es la diferencia de temperatura dependiente del tiempo entre el ambiente y el objeto (unidad del SI: K).

Si el coeficiente de transferencia de calor y la diferencia de temperatura son uniformes a lo largo de la superficie de transferencia de calor, la fórmula anterior se simplifica a:

${\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)$ .

El coeficiente de transferencia de calor h depende de las propiedades físicas del fluido y de las condiciones físicas en las que se produce la convección. Por lo tanto, para cada sistema que se vaya a analizar, es necesario obtener o determinar experimentalmente un único coeficiente de transferencia de calor útil (que no varíe significativamente en los rangos de diferencia de temperatura que abarcan el enfriamiento y el calentamiento).

Existen numerosas fórmulas y correlaciones disponibles en diversas referencias para calcular los coeficientes de transferencia de calor en configuraciones y fluidos típicos. En flujos laminares, el coeficiente de transferencia de calor suele ser menor que en flujos turbulentos, debido a la intensa mezcla que se produce en la capa límite de la superficie de transferencia de calor en estos últimos. ^{[ 6 ]} Cabe destacar que el coeficiente de transferencia de calor varía en un sistema cuando se produce una transición de flujo laminar a turbulento.

Número de Biot

El número de Biot, una magnitud adimensional, se define para un cuerpo como

${\text{Bi}}={\frac {hL_{\rm {C}}}{k_{\rm {b}}}},$ dónde

h = coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor o coeficiente de transferencia de calor por convección,
L _C = longitud característica , que se define comúnmente como el volumen del cuerpo dividido por el área de la superficie del cuerpo, de tal manera que $L_{\rm {C}}=V_{\text{cuerpo}}/A_{\text{superficie}}$ ,
k _b = conductividad térmica del cuerpo.

El significado físico del número de Biot se puede comprender imaginando el flujo de calor desde una esfera de metal caliente sumergida repentinamente en un charco hacia el fluido circundante. Este flujo de calor encuentra dos resistencias: una externa a la superficie de la esfera y otra interna en el metal sólido (influenciada tanto por el tamaño como por la composición de la esfera). La relación entre estas resistencias es el número de Biot, una magnitud adimensional.

Si la resistencia térmica en la interfaz fluido/esfera supera la resistencia térmica del interior de la esfera metálica, el número de Biot será menor que uno. En sistemas donde es mucho menor que uno, se puede suponer que el interior de la esfera siempre tiene la misma temperatura, aunque esta puede variar a medida que el calor pasa de la superficie a la esfera. La ecuación que describe este cambio de temperatura (relativamente uniforme) dentro del objeto es la simple ecuación exponencial descrita en la ley de enfriamiento de Newton, expresada en términos de diferencia de temperatura (véase más adelante).

Por el contrario, la esfera metálica puede ser grande, lo que provoca que la longitud característica aumente hasta el punto de que el número de Biot sea mayor que uno. En este caso, los gradientes de temperatura dentro de la esfera se vuelven importantes, incluso si el material de la esfera es un buen conductor. De forma equivalente, si la esfera está hecha de un material aislante térmico (poco conductor), como madera o poliestireno expandido, la resistencia interna al flujo de calor superará la de la interfaz fluido/esfera, incluso con una esfera mucho más pequeña. En este caso, de nuevo, el número de Biot será mayor que uno.

Los valores del número de Biot menores que 0,1 implican que la conducción de calor dentro del cuerpo es mucho más rápida que la convección de calor desde su superficie, y los gradientes de temperatura son despreciables en su interior. Esto puede indicar la aplicabilidad (o inaplicabilidad) de ciertos métodos para resolver problemas de transferencia de calor transitoria. Por ejemplo, un número de Biot menor que 0,1 generalmente indica que habrá menos del 5 % de error al asumir un modelo de capacitancia concentrada para la transferencia de calor transitoria (también llamado análisis de sistema concentrado). ^{[ 7 ]} Por lo general, este tipo de análisis conduce a un comportamiento de calentamiento o enfriamiento exponencial simple (enfriamiento o calentamiento "newtoniano") ya que la energía interna del cuerpo es directamente proporcional a su temperatura, que a su vez determina la tasa de transferencia de calor hacia dentro o hacia fuera del mismo. Esto conduce a una ecuación diferencial simple de primer orden que describe la transferencia de calor en estos sistemas.

Un número de Biot menor que 0,1 indica que una sustancia es "térmicamente delgada" y que la temperatura es constante en todo su volumen. Lo contrario también es cierto: un número de Biot mayor que 0,1 (una sustancia "térmicamente gruesa") indica que no se puede hacer esta suposición y que se requerirán ecuaciones de transferencia de calor más complejas para la "conducción de calor transitoria" para describir el campo de temperatura variable en el tiempo y no uniforme espacialmente dentro del cuerpo del material. Los métodos analíticos para abordar estos problemas, que pueden existir para formas geométricas simples y conductividad térmica uniforme del material , se describen en el artículo sobre la ecuación del calor .

Aplicaciones

Se pueden obtener soluciones sencillas para el enfriamiento transitorio de un objeto cuando la resistencia térmica interna es pequeña en comparación con la resistencia a la transferencia de calor desde la superficie del objeto (por conducción o convección externa), condición que corresponde a un número de Biot inferior a 0,1. Esta condición permite suponer una temperatura única y aproximadamente uniforme en el interior del objeto, que varía con el tiempo pero no con la posición. (De lo contrario, el objeto tendría muchas temperaturas diferentes en su interior en cualquier momento). Esta temperatura única generalmente cambia exponencialmente con el paso del tiempo (véase más adelante).

La condición de un número de Biot bajo conduce al llamado modelo de capacitancia concentrada . En este modelo, la energía interna (la cantidad de energía térmica en el cuerpo) se calcula asumiendo una capacidad calorífica constante . En ese caso, la energía interna del cuerpo es una función lineal de su temperatura interna.

La solución de capacitancia concentrada que se presenta a continuación supone un coeficiente de transferencia de calor constante, como ocurriría en la convección forzada. Para la convección natural, el modelo de capacitancia concentrada puede resolverse con un coeficiente de transferencia de calor que varía con la diferencia de temperatura. ^{[ 8 ]}

Respuesta transitoria de primer orden de objetos de capacitancia concentrada

Un cuerpo tratado como un objeto de capacitancia concentrada, con una energía interna total de $U$ (en julios), se caracteriza por una única temperatura interna uniforme, $T(t)$ . La capacidad calorífica, $C$ , del cuerpo es $C=dU/dT$ (en J/K), para el caso de un material incompresible. La energía interna puede expresarse en función de la temperatura del cuerpo, la capacidad calorífica (que se considera independiente de la temperatura) y una temperatura de referencia en la que la energía interna es cero: $U=C(T-T_{\text{ref}})$ .

Diferenciando $U$ Con respecto al tiempo se obtiene: ${\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.$

Aplicando la primera ley de la termodinámica al objeto concentrado se obtiene ${\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}}$ donde la tasa de transferencia de calor fuera del cuerpo, ${\dot {Q}}$ , puede expresarse mediante la ley de enfriamiento de Newton, y donde no se produce transferencia de trabajo para un material incompresible. Por lo tanto, ${\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau }}\ \Delta T(t),$ donde la constante de tiempo del sistema es $\tau =C/(hA)$ La capacidad calorífica $C$ puede escribirse en términos de la capacidad calorífica específica del objeto , $c$ (J/kg-K) y masa, $m$ (kg). La constante de tiempo es entonces $\tau =mc/(hA)$ .

Cuando la temperatura ambiental es constante en el tiempo, podemos definir $\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ La ecuación se convierte en ${\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).$

La solución de esta ecuación diferencial, mediante integración desde la condición inicial, es $\Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.$ dónde $\Delta T(0)$ es la diferencia de temperatura en el tiempo 0. Volviendo a la temperatura, la solución es $T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.$

La diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente disminuye exponencialmente en función del tiempo.

Formulación estándar

Al definir $r=1/\tau =hA/C$ , la ecuación diferencial se convierte en

${\dot {T}}=r\left(T_{\text{env}}-T(t)\right),$ dónde

${\dot {T}}$ es la tasa de pérdida de calor (unidad SI: K/segundo),
$T$ es la temperatura de la superficie del objeto (unidad SI: K),
$T_{\text{env}}$ es la temperatura del ambiente; es decir, la temperatura a una distancia adecuada de la superficie (unidad del SI: K),
$r$ es el coeficiente de transferencia de calor (unidad SI: segundo $^{-1}$ ).

Resolver el problema de valor inicial usando separación de variables da como resultado

$T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-rt}.$

Véase también

Referencias

↑ «Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa» . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 22 (270): 824– 829. Marzo-abril de 1701. doi : 10.1098/rstl.1700.0082 . JSTOR 102813 .
↑ Cheng, KC; Fujii, T. (1998). "Isaac Newton y la transferencia de calor" . Heat Transfer Engineering . 19 (4): 9– 21. doi : 10.1080/01457639808939932 . ISSN 0145-7632 .
↑ Historia de la ley de enfriamiento de Newton. Archivado el 14 de junio de 2015 en Wayback Machine.
1 2 Maruyama, Shigenao; Moriya, Shuichi (2021). "Ley de enfriamiento de Newton: seguimiento y exploración". International Journal of Heat and Mass Transfer . 164 120544. Bibcode : 2021IJHMT.16420544M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120544 .
↑ Whewell, William (1866). Historia de las ciencias inductivas desde sus orígenes hasta la actualidad . ISBN 978-0-598-73959-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Lienhard, John H. IV; Lienhard, John H., V (2019). «Capas límite laminares y turbulentas». Un libro de texto sobre transferencia de calor (5.ª ed.). Mineola, NY: Dover Publications. págs. 271–347 . ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Frank Incropera; Theodore L. Bergman; David DeWitt; Adrienne S. Lavine (2007). Fundamentos de transferencia de calor y masa (6.ª ed.). John Wiley & Sons . págs. 260-261 . ISBN 978-0-471-45728-2.
^ Lienhard, Juan H. IV; Lienhard, John H., V (2019). Un libro de texto sobre transferencia de calor (5ª ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 419– 420. ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

Véase también:

Dehghani, F 2007, CHNG2801 – Conservación y procesos de transporte: Apuntes del curso, Universidad de Sídney, Sídney

Enlaces externos

Conducción de calor – Thermal-FluidsPedia
Ley de enfriamiento de Newton por Jeff Bryant basada en un programa de Stephen Wolfram , Proyecto de demostraciones de Wolfram .
Libro de texto sobre transferencia de calor, 5.ª edición , libro electrónico gratuito.

[1] «Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa» . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 22 (270): 824– 829. Marzo-abril de 1701. doi : 10.1098/rstl.1700.0082 . JSTOR 102813 .

[:13-2] Cheng, KC; Fujii, T. (1998). "Isaac Newton y la transferencia de calor" . Heat Transfer Engineering . 19 (4): 9– 21. doi : 10.1080/01457639808939932 . ISSN 0145-7632 .

[3] Historia de la ley de enfriamiento de Newton. Archivado el 14 de junio de 2015 en Wayback Machine.

[Maruyama_and_Moriya_2020-4] 1 2 Maruyama, Shigenao; Moriya, Shuichi (2021). "Ley de enfriamiento de Newton: seguimiento y exploración". International Journal of Heat and Mass Transfer . 164 120544. Bibcode : 2021IJHMT.16420544M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120544 .

[5] Whewell, William (1866). Historia de las ciencias inductivas desde sus orígenes hasta la actualidad . ISBN 978-0-598-73959-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[6] Lienhard, John H. IV; Lienhard, John H., V (2019). «Capas límite laminares y turbulentas». Un libro de texto sobre transferencia de calor (5.ª ed.). Mineola, NY: Dover Publications. págs. 271–347 . ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[7] Frank Incropera; Theodore L. Bergman; David DeWitt; Adrienne S. Lavine (2007). Fundamentos de transferencia de calor y masa (6.ª ed.). John Wiley & Sons . págs. 260-261 . ISBN 978-0-471-45728-2.

[8] Lienhard, Juan H. IV; Lienhard, John H., V (2019). Un libro de texto sobre transferencia de calor (5ª ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 419– 420. ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

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