Notación para la diferenciación

En cálculo diferencial , no existe una notación estándar única para la diferenciación . En cambio, varios matemáticos, entre ellos Leibniz , Newton , Lagrange y Arbogast , han propuesto diversas notaciones para la derivada de una función o una variable dependiente . La utilidad de cada notación depende del contexto en el que se utilice, y a veces resulta ventajoso emplear más de una en un mismo contexto. Para contextos más especializados, como las derivadas parciales en cálculo multivariable , el análisis tensorial o el cálculo vectorial , son comunes otras notaciones, como la notación de subíndices o el operador ∇ . A continuación se enumeran las notaciones más comunes para la diferenciación (y su operación inversa, la antidiferenciación o integración indefinida ).

La notación original empleada por Gottfried Leibniz se utiliza en toda la matemática. Es particularmente común cuando la ecuación y = f ( x ) se considera una relación funcional entre las variables dependientes e independientes y y x . La notación de Leibniz hace explícita esta relación escribiendo la derivada como: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$$ Además, la derivada de f en x se escribe, por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ o }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ o }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$$

Las derivadas de orden superior se escriben como: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$$ Este es un dispositivo de notación sugerente que proviene de manipulaciones formales de símbolos, como en, $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

El valor de la derivada de y en un punto x = a puede expresarse de dos maneras utilizando la notación de Leibniz: $${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ o }}{\frac {dy}{dx}}(a).}$$

La notación de Leibniz permite especificar la variable para la diferenciación (en el denominador). Esto resulta especialmente útil al considerar derivadas parciales . Además, facilita recordar y reconocer la regla de la cadena .$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

La notación de Leibniz para la diferenciación no requiere asignar significado a símbolos como dx o dy (conocidos como diferenciales ) por sí solos, y algunos autores no intentan asignar significado a estos símbolos. ^{[ 1 ]} Leibniz trató estos símbolos como infinitesimales . Autores posteriores les han asignado otros significados, como infinitesimales en análisis no estándar o derivadas exteriores . Comúnmente, dx se deja sin definir o se iguala con${\displaystyle \Delta x}$, mientras que a dy se le asigna un significado en términos de dx , a través de la ecuación

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

que también puede escribirse como, por ejemplo,

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(véase más abajo ). Estas ecuaciones dan lugar a la terminología que se encuentra en algunos textos donde la derivada se denomina "coeficiente diferencial" (el coeficiente de dx ).

Algunos autores y revistas utilizan la letra " d" en caracteres latinos en lugar de cursiva : "d x" . La guía de estilo científico ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.

Una de las notaciones modernas más comunes para la diferenciación lleva el nombre de Joseph Louis Lagrange , aunque en realidad fue inventada por Euler y popularizada por este último. En la notación de Lagrange, una prima denota una derivada; por lo tanto, a veces se la llama notación prima . Si f es una función, entonces su derivada evaluada en x se escribe

${\displaystyle f'(x).}$

Apareció impresa por primera vez en 1749. ^{[ 3 ]}

Los derivados superiores se indican mediante el uso de comillas adicionales, como en${\displaystyle f''(x)}$para la segunda derivada y${\displaystyle f'''(x)}$para la tercera derivada . El uso de marcas primas repetidas eventualmente se vuelve engorroso; algunos autores continúan empleando números romanos , generalmente en minúscula, ^{[ 4 ] [ 5 ]} como en

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

para denotar derivadas de cuarto, quinto, sexto y orden superior. Otros autores utilizan números arábigos entre paréntesis, como en

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Esta notación también permite describir la n -ésima derivada, donde n es una variable. Esto se escribe

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Lagrange incluyen:

• U+2032 ◌ ′ PRIMO (derivado)
• U+2033 ◌ ″ DOBLE PRIMO (doble derivada)
• U+2034 ◌ ‴ TRIPLE PRIMA (tercera derivada)
• U+2057 ◌ ⁗ CUÁDRUPLE PRIMO (cuarta derivada)

Cuando hay dos variables independientes para una función${\displaystyle f(x,y)}$, a veces se utiliza la siguiente notación: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

Esta notación a veces se llamaLa notación de Euler, aunque fue introducida porLouis François Antoine Arbogast, ^{[ 8 ]} parece queLeonhard Eulerno la utilizó.

Esta notación utiliza un operador diferencial denotado como D ( operador D ) ^{[ 9 ]} o D̃ ( operador de Newton-Leibniz ). ^{[ 10 ]} Cuando se aplica a una función f ( x ) , se define por

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Las derivadas de orden superior se denotan como "potencias" de D (donde los superíndices denotan la composición iterada de D ), como en ^{[ 6 ].}

${\displaystyle D^{2}f}$para la segunda derivada,

${\displaystyle D^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D^{n}f}$para la n -ésima derivada.

La notación D deja implícita la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación. Sin embargo, esta variable también puede hacerse explícita colocando su nombre como subíndice: si f es una función de una variable x , esto se hace escribiendo ^{[ 6 ].}

${\displaystyle D_{x}f}$para la primera derivada,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$para la segunda derivada,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$para la tercera derivada, y

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$para la n -ésima derivada.

Cuando f es una función de varias variables, es común usar " ∂ ", una d minúscula cursiva estilizada, en lugar de " D ". Como se indicó anteriormente, los subíndices denotan las derivadas que se están tomando. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función${\displaystyle f(x,y)}$son: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

Véase §  Derivadas parciales .

La notación D es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales y en álgebra diferencial .

La notación de Isaac Newton para la diferenciación (también llamada notación de punto , fluxiones o, a veces, de forma burda, notación de punto de mosca ^{[ 12 ]} para la diferenciación) coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es una función de t , entonces la derivada de y con respecto a t es

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Las derivadas de orden superior se representan utilizando varios puntos, como en

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Newton extendió esta idea bastante lejos: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Newton incluyen:

• U+0307 ◌ ̇ COMBINANDO PUNTO ARRIBA (derivado)
• U+0308 ◌ ̈ DIÉRESIS COMBINADA (doble derivada)
• U+20DB ◌ ⃛ COMBINANDO TRES PUNTOS ARRIBA (tercera derivada) ← reemplazado por "diéresis de combinación" + "punto de combinación arriba".
• U+20DC ◌ ⃜ COMBINANDO CUATRO PUNTOS ARRIBA (cuarta derivada) ← reemplazado por "diéresis de combinación" dos veces.
• U+030D ◌ ̍ LÍNEA VERTICAL COMBINADA ARRIBA (integral)
• U+030E ◌ ̎ COMBINANDO LA DOBLE LÍNEA VERTICAL SUPERIOR (segunda integral)
• U+25AD ▭ RECTÁNGULO BLANCO (integral)
• U+20DE ◌ ⃞ CUADRADO DE ENCIERRE COMBINADO (integral)
• U+1DE0 ◌ ᷠ COMBINANDO LA LETRA MINÚSCULA LATINA N ( n -ésima derivada)

La notación de Newton se usa generalmente cuando la variable independiente denota el tiempo . Si la ubicación y es una función de t , entonces${\displaystyle {\dot {y}}}$denota velocidad ^{[ 14 ]} y${\displaystyle {\ddot {y}}}$denota aceleración . ^{[ 15 ]} Esta notación es popular en física y física matemática . También aparece en áreas de las matemáticas relacionadas con la física, como las ecuaciones diferenciales .

Al tomar la derivada de una variable dependiente y = f ( x ), existe una notación alternativa: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

Newton desarrolló los siguientes operadores diferenciales parciales utilizando puntos laterales en una X curva ( ⵋ ). Las definiciones dadas por Whiteside se encuentran a continuación: ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Cuando se requieren tipos de diferenciación más específicos, como en el cálculo multivariable o el análisis tensorial , se utilizan otras notaciones.

Para una función f de una única variable independiente x , podemos expresar la derivada utilizando los subíndices de la variable independiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Este tipo de notación es especialmente útil para calcular derivadas parciales de una función de varias variables.

Las derivadas parciales se distinguen generalmente de las derivadas ordinarias reemplazando el operador diferencial d por el símbolo " ∂ ". Por ejemplo, podemos indicar la derivada parcial de f ( x , y , z ) con respecto a x , pero no con respecto a y o z, de varias maneras:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Lo que hace que esta distinción sea importante es que una derivada no parcial como${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$puede , dependiendo del contexto, interpretarse como una tasa de cambio en${\displaystyle f}$relativo a${\displaystyle x}$cuando se permite que todas las variables varíen simultáneamente, mientras que con una derivada parcial como${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$Es explícito que solo debe variar una variable.

Se pueden encontrar otras notaciones en diversos subcampos de las matemáticas, la física y la ingeniería; véanse, por ejemplo, las relaciones de Maxwell de la termodinámica . El símbolo${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$es la derivada de la temperatura T con respecto al volumen V mientras se mantiene constante la entropía (subíndice) S , mientras que${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$es la derivada de la temperatura con respecto al volumen manteniendo constante la presión P. Esto se hace necesario en situaciones donde el número de variables excede los grados de libertad, de modo que hay que elegir qué otras variables se mantendrán fijas.

Las derivadas parciales de orden superior con respecto a una variable se expresan como

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.}$

En este último caso, las variables se escriben en orden inverso entre las dos notaciones, como se explica a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

La denominada notación de índice múltiple se utiliza en situaciones en las que la notación anterior resulta engorrosa o insuficientemente expresiva. Al considerar funciones en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, definimos un multiíndice como una lista ordenada de${\displaystyle n}$enteros no negativos:${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$. Luego definimos, para${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$, la notación

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

De esta forma, algunos resultados (como la regla de Leibniz ) que son tediosos de escribir de otras maneras pueden expresarse sucintamente; algunos ejemplos pueden encontrarse en el artículo sobre multiíndices . ^{[ 20 ]}

El cálculo vectorial se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales o escalares. Son comunes varias notaciones específicas para el caso del espacio euclidiano tridimensional .

Supongamos que ( x , y , z ) es un sistema de coordenadas cartesianas dado , y que A es un campo vectorial con componentes${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})}$y que${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$es un campo escalar .

El operador diferencial introducido por William Rowan Hamilton , escrito ∇ y llamado del o nabla, se define simbólicamente en forma de vector,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

donde la terminología refleja simbólicamente que el operador ∇ también será tratado como un vector ordinario.

• Gradiente : El gradiente${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$del campo escalar${\displaystyle \varphi }$es un vector, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación de ∇ y un campo escalar.${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• Divergencia : La divergencia${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$del campo vectorial A es un escalar, que se expresa simbólicamente mediante el producto escalar de ∇ y el vector A ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• Laplaciano : El Laplaciano${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$del campo escalar${\displaystyle \varphi }$es un escalar, que se expresa simbólicamente mediante la multiplicación escalar de ∇ ² y el campo escalar φ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• Rotación : La rotación${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$, o${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$, del campo vectorial A es un vector, que se expresa simbólicamente mediante el producto vectorial de ∇ y el vector A ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Muchas operaciones simbólicas de derivadas pueden generalizarse de manera directa mediante el operador gradiente en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regla del producto de una variable tiene un análogo directo en la multiplicación de campos escalares mediante la aplicación del operador gradiente, como en

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Muchas otras reglas del cálculo de una variable tienen análogos en el cálculo vectorial para el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano.

Se han desarrollado notaciones adicionales para tipos de espacios más exóticos. Para cálculos en el espacio de Minkowski , el operador de d'Alembert , también llamado operador de onda de d'Alembert u operador de caja, se representa como${\displaystyle \Box }$, o como${\displaystyle \Delta }$cuando no entra en conflicto con el símbolo del laplaciano.

• Sociedad Analítica – organización británica del siglo XIX para la promoción del cálculo de Leibniz. 
• Derivada – Tasa de cambio instantánea (matemáticas) 
• Fluxión – Concepto matemático histórico; forma de derivada 
• Matriz hessiana – Matriz de segundas derivadas 
• Matriz jacobiana : matriz de derivadas parciales de una función vectorial. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Lista de símbolos matemáticos por tema
• Cálculo operacional

• Primeros usos de los símbolos del cálculo , mantenido por Jeff Miller ( Archivado el 26/07/2020 en Wayback Machine ).