Número triangular al cuadrado

En teoría de números , la suma de los primeros n cubos es el cuadrado del n- ésimo número triangular . Es decir,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.}$

La misma ecuación se puede escribir de forma más compacta utilizando la notación matemática para la sumatoria :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

Esta identidad a veces se denomina teorema de Nicómaco , en honor a Nicómaco de Gerasa ( c. 60 – c. 120 d. C. ). 

Nicómaco, al final del capítulo 20 de su Introducción a la aritmética , señaló que si se escribe una lista de los números impares, el primero es el cubo de 1, la suma de los dos siguientes es el cubo de 2, la suma de los tres siguientes es el cubo de 3, y así sucesivamente. No va más allá de esto, pero de esto se deduce que la suma de los primeros${\displaystyle n}$cubos es igual a la suma de los primeros${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$números impares, es decir, los números impares del 1 al${\displaystyle n(n+1)-1}$El promedio de estos números es obviamente${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$y hay${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$de ellos, por lo que su suma es${\displaystyle \left({\tfrac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$.

Muchos matemáticos de la antigüedad estudiaron y demostraron el teorema de Nicómaco. Stroeker (1995) afirma que «todo estudiante de teoría de números seguramente se maravilló ante este hecho milagroso». ^{[ 1 ]} Pengelley (2002) encuentra referencias a la identidad no solo en las obras de Nicómaco en lo que hoy es Jordania en el siglo I d. C., sino también en las de Aryabhata en la India en el siglo V y en las de Al-Karaji c. 1000 en Persia . ^{[ 2 ]} Bressoud (2004) menciona varias obras matemáticas tempranas adicionales sobre esta fórmula, de Al-Qabisi (Arabia del siglo X), Gersonides ( c. 1300 , Francia) y Nilakantha Somayaji ( c. 1500 , India); reproduce la demostración visual de Nilakantha. ^{[ 3 ]}

La secuencia de números triangulares al cuadrado es

Estos números pueden considerarse números figurados , una generalización hiperpiramidal de cuatro dimensiones de los números triangulares y los números piramidales cuadrados .

Como observa Stein (1971) , estos números también cuentan el número de rectángulos con lados horizontales y verticales formados en un${\displaystyle n\times n}$cuadrícula . Por ejemplo, los puntos de una${\displaystyle 4\times 4}$Una cuadrícula (o un cuadrado formado por tres cuadrados más pequeños por lado) puede formar 36 rectángulos diferentes. El número de cuadrados en una cuadrícula cuadrada se cuenta de manera similar mediante los números piramidales cuadrados. ^{[ 4 ]}

La identidad también admite una interpretación probabilística natural como sigue. Sea${\displaystyle X,Y,Z,W}$sean cuatro números enteros elegidos de forma independiente y uniforme al azar entre 1 y${\displaystyle n}$. Entonces, la probabilidad de que${\displaystyle W}$es el mayor de los cuatro números es igual a la probabilidad de que${\displaystyle Y}$es al menos tan grande como${\displaystyle X}$y eso${\displaystyle W}$es al menos tan grande como${\displaystyle Z}$. Eso es,$${\displaystyle \Pr[\max(X,Y,Z)\leq W]=\Pr[X\leq Y\wedge Z\leq W].}$$Para cualquier valor particular de${\displaystyle W}$, las combinaciones de${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$, y${\displaystyle Z}$que hacen${\displaystyle W}$La forma más grande es un cubo${\displaystyle 1\leq X,Y,Z\leq n}$así que (sumando el tamaño de este cubo sobre todas las opciones de${\displaystyle W}$}) el número de combinaciones de${\displaystyle X,Y,Z,W}$para qué${\displaystyle W}$es mayor es una suma de cubos, el lado izquierdo de la identidad de Nicómaco. Los conjuntos de pares${\displaystyle (X,Y)}$con${\displaystyle X\leq Y}$y de pares${\displaystyle (Z,W)}$con${\displaystyle Z\leq W}$forman triángulos rectángulos isósceles, y el conjunto contado por el lado derecho de la ecuación de probabilidades es el producto cartesiano de estos dos triángulos, por lo que su tamaño es el cuadrado de un número triangular en el lado derecho de la identidad de Nicómaco. Las probabilidades mismas son respectivamente los lados izquierdo y derecho de la identidad de Nicómaco, normalizados para hacer probabilidades dividiendo ambos lados por${\displaystyle n^{4}}$.

Charles Wheatstone ( 1854 ) ofrece una derivación particularmente sencilla, expandiendo cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad  $${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ números impares consecutivos}}}.}$$ Esa identidad está relacionada con los números triangulares.${\displaystyle T_{n}}$De la siguiente manera: $${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$$ y por lo tanto los sumandos que forman${\displaystyle n^{3}}$comienza justo después de que formen todos los valores anteriores${\displaystyle 1^{3}}$arriba a${\displaystyle (n-1)^{3}}$Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad bien conocida: $${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$$ produce la siguiente derivación: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Row (1893) obtiene otra demostración sumando los números de una tabla de multiplicar cuadrada de dos maneras diferentes. La suma de la i -ésima fila es i veces un número triangular, de donde se deduce que la suma de todas las filas es el cuadrado de un número triangular. Alternativamente, se puede descomponer la tabla en una secuencia de gnomones anidados , cada uno compuesto por productos en los que el mayor de los dos términos es un valor fijo. La suma dentro de cada gnomon es un cubo, por lo que la suma de toda la tabla es una suma de cubos. ^{[ 6 ]}

En la literatura matemática más reciente, Edmonds (1957) proporciona una demostración utilizando la suma por partes . ^{[ 7 ]} Stein (1971) utiliza la interpretación de conteo de rectángulos de estos números para formar una demostración geométrica de la identidad. ^{[ 8 ]} Stein observa que también puede demostrarse fácilmente (pero sin información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante demostración árabe antigua". ^{[ 4 ]} Kanim (2004) proporciona una demostración puramente visual, ^{[ 9 ]} Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos demostraciones adicionales, ^{[ 10 ]} y Nelsen (1993) da siete demostraciones geométricas. ^{[ 11 ]}

Un resultado similar al teorema de Nicómaco se cumple para todas las sumas de potencias , a saber, que las sumas de potencias impares (sumas de potencias impares) son un polinomio en números triangulares. Estos se denominan polinomios de Faulhaber , de los cuales la suma de cubos es el ejemplo más simple y elegante. Sin embargo, en ningún otro caso una suma de potencias es el cuadrado de otra. ^{[ 7 ]}

Stroeker (1995) estudia condiciones más generales bajo las cuales la suma de una secuencia consecutiva de cubos forma un cuadrado. ^{[ 1 ]} Garrett y Hummel (2004) y Warnaar (2004) estudian análogos polinomiales de la fórmula del número triangular cuadrado, en la que series de polinomios suman el cuadrado de otro polinomio. ^{[ 12 ]}

• Weisstein, Eric W. , "El teorema de Nicómaco" , MathWorld
• Una demostración visual del teorema de Nicómaco. Archivado el 19 de octubre de 2019 en la Wayback Machine.