Álgebra nilpotente

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , un álgebra nilpotente sobre un anillo conmutativo es un álgebra sobre un anillo conmutativo , en la que para algún entero positivo n todo producto que contiene al menos n elementos del álgebra es cero. El concepto de un álgebra de Lie nilpotente tiene una definición diferente, que depende del corchete de Lie . (No hay corchete de Lie para muchas álgebras sobre anillos conmutativos; un álgebra de Lie implica su corchete de Lie, mientras que, no hay corchete de Lie definido en el caso general de un álgebra sobre un anillo conmutativo). Otra posible fuente de confusión en la terminología es el álgebra nilpotente cuántica , ^{[ 1 ]} un concepto relacionado con los grupos cuánticos y las álgebras de Hopf .

Un álgebra asociativa${\displaystyle A}$sobre un anillo conmutativo${\displaystyle R}$Se define como un álgebra nilpotente si y solo si existe algún entero positivo.${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle 0=y_{1}\ y_{2}\ \cdots \ y_{n}}$a pesar de${\displaystyle y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_ {n}}$en el álgebra${\displaystyle A}$. El más pequeño de estos${\displaystyle n}$se llama índice del álgebra${\displaystyle A}$. ^{[ 2 ]} En el caso de un álgebra no asociativa , la definición es que cada asociación multiplicativa diferente del${\displaystyle n}$El elemento es cero.

Un álgebra asociativa de potencias en la que cada elemento del álgebra es nilpotente se denomina álgebra nil . ^{[ 3 ]}

Las álgebras nilpotentes son trivialmente nulas, mientras que las álgebras nulas pueden no ser nilpotentes, ya que el hecho de que cada elemento sea nilpotente no obliga a que los productos de elementos distintos se anulen.

• Estructura algebraica (un término mucho más general)
• álgebra de nil-Coxeter
• Álgebra de Lie
• Ejemplo de álgebra no asociativa

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 

• Álgebra nilpotente – Enciclopedia de Matemáticas