Nilpotente

En matemáticas , un elemento${\displaystyle x}$de un anillo${\displaystyle R}$Se denomina nilpotente si existe algún entero positivo.${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle x^{n}=0}$. El más pequeño de estos${\displaystyle n}$se denomina índice de nilpotencia o grado de nilpotencia de${\displaystyle x}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El término, junto con su término hermano idempotente , fue introducido por Benjamin Peirce en el contexto de su trabajo sobre la clasificación de álgebras. ^{[ 3 ]}

• Esta definición se puede aplicar en particular a matrices cuadradas . La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

es nilpotente porque${\displaystyle A^{3}=0}$Consulte la matriz nilpotente para obtener más información.

• En el anillo factorial${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$, la clase de equivalencia de 3 es nilpotente porque 3 ² es congruente con 0 módulo 9.
• Supongamos que dos elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en un anillo${\displaystyle R}$satisfacer${\displaystyle ab=0}$. Entonces el elemento${\displaystyle c=ba}$es nilpotente como$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$Un ejemplo con matrices (para a , b ): $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$Aquí${\displaystyle AB=0}$y${\displaystyle BA=B}$.
• Por definición, cualquier elemento de un nilsemigrupo es nilpotente.

Ningún elemento nilpotente puede ser una unidad (excepto en el anillo trivial , que tiene un único elemento 0 = 1 ). Todos los elementos nilpotentes son divisores de cero .

Un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$con entradas de un campo es nilpotente si y solo si su polinomio característico es${\displaystyle t^{n}}$.

Si${\displaystyle x}$es nilpotente, entonces${\displaystyle 1-x}$es una unidad , porque${\displaystyle x^{n}=0}$implica$${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

En términos más generales, la suma de un elemento unitario y un elemento nilpotente es una unidad cuando conmutan.

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo${\displaystyle R}$formar un ideal${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$; esto es una consecuencia del teorema del binomio . Este ideal es el nilradical del anillo. Si${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\{0\}}$, es decir,${\displaystyle R}$no tiene elementos nilpotentes distintos de cero,${\displaystyle R}$se denomina anillo reducido .

Cada elemento nilpotente${\displaystyle x}$En un anillo conmutativo, todo ideal primo está contenido en él.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de ese anillo, ya que${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$está contenido en la intersección de todos los ideales primos. Por el contrario, si${\displaystyle x}$no es nilpotente, podemos localizar con respecto a las potencias de${\displaystyle x}$:${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$para obtener un anillo distinto de cero${\displaystyle S^{-1}R}$Los ideales primos del anillo localizado corresponden exactamente a esos ideales primos.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle R}$con${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$. ^{[ 4 ]} Como todo anillo conmutativo no nulo tiene un ideal maximal , que es primo, todo ideal no nilpotente${\displaystyle x}$no está contenido en algún ideal primordial. Por lo tanto,${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$es exactamente la intersección de todos los ideales primos. ^{[ 5 ]}

Una característica similar a la del radical de Jacobson y la aniquilación de módulos simples está disponible para nilradical: elementos nilpotentes de un anillo.${\displaystyle R}$son precisamente aquellos que aniquilan todos los dominios integrales internos al anillo${\displaystyle R}$(es decir, de la forma${\displaystyle R/I}$por ideales primordiales${\displaystyle I}$). Esto se deduce del hecho de que nilradical es la intersección de todos los ideales primos.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie . Entonces un elemento${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$Se denomina nilpotente si está en la subálgebra conmutadora.${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$y${\displaystyle \operatorname {ad} x}$es una transformación nilpotente. Véase también: descomposición de Jordan en un álgebra de Lie .

Cualquier operador de escalera en un espacio de dimensión finita es nilpotente. Representan operadores de creación y aniquilación , que transforman de un estado a otro, por ejemplo, las matrices de Pauli de elevación y descenso.${\displaystyle \sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2}$.

Un operando${\displaystyle Q}$que satisface${\displaystyle Q^{2}=0}$es nilpotente. Los números de Grassmann que permiten una representación integral de trayectoria para campos fermiónicos son nilpotentes ya que sus cuadrados se anulan. La carga BRST es un ejemplo importante en física .

Como los operadores lineales forman un álgebra asociativa y, por lo tanto, un anillo, este es un caso especial de la definición inicial. ^{[ 6 ] [ 7 ]} De manera más general, en vista de las definiciones anteriores, un operador${\displaystyle Q}$es nilpotente si hay${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle Q^{n}=0}$(la función cero ). Por lo tanto, una aplicación lineal es nilpotente si y solo si tiene una matriz nilpotente en alguna base. Otro ejemplo de esto es la derivada exterior (de nuevo con${\displaystyle n=2}$). Ambos están vinculados, también a través de la supersimetría y la teoría de Morse , ^{[ 8 ]} como lo demostró Edward Witten en un célebre artículo. ^{[ 9 ]}

El campo electromagnético de una onda plana sin fuentes es nilpotente cuando se expresa en términos del álgebra del espacio físico . ^{[ 10 ]} De manera más general, la técnica de microaditividad (que puede usarse para derivar teoremas en física) utiliza infinitesimales nilpotentes o nilcuadrados y forma parte del análisis infinitesimal suave .

Los números duales bidimensionales contienen un espacio nilpotente. Otras álgebras y números que contienen espacios nilpotentes incluyen los cuaterniones divididos (cocuaterniones), los octoniones divididos y los bicuaterniones.${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$y octoniones complejos${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$Si un infinitesimal nilpotente es una variable que tiende a cero, se puede demostrar que cualquier suma de términos para la cual es sujeto es una proporción infinitamente pequeña del término de primer orden.

• Elemento idempotente (teoría de anillos)
• Unipotente
• Nada ideal