Operador nilpotente

En teoría de operadores , se dice que un operador acotado T en un espacio de Banach es nilpotente si T ⁿ = 0 para algún entero positivo n . ^{[ 1 ]} Se dice que es cuasi-nilpotente o topológicamente nilpotente si su espectro σ ( T ) = {0}.

En el caso de dimensión finita, es decir, cuando T es una matriz cuadrada ( matriz nilpotente ) con entradas complejas, σ ( T ) = {0} si y solo si T es similar a una matriz cuyas únicas entradas no nulas están en la superdiagonal ^{[ 2 ]} (este hecho se utiliza para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan ). A su vez, esto es equivalente a T ⁿ = 0 para algún n . Por lo tanto, para matrices, la cuasi-ilpotencia coincide con la nilpotencia.

Esto no es cierto cuando H es de dimensión infinita. Consideremos el operador de Volterra , definido de la siguiente manera: consideremos el cuadrado unitario X = [0,1] × [0,1] ⊂ R² , con la medida de Lebesgue ^m . En X , definimos la función núcleo K mediante

${\displaystyle K(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si}}\;x\geq y\\0,&{\mbox{en otro caso}}.\end{matrix}}\right.}$

El operador de Volterra es el operador integral T correspondiente en el espacio de Hilbert L ² (0,1) dado por

${\displaystyle Tf(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)dy.}$

El operador T no es nilpotente: tomemos f como la función que es 1 en todas partes y un cálculo directo muestra que T ⁿ f ≠ 0 (en el sentido de L ² ) para todo n . Sin embargo, T es cuasinilpotente. Primero observemos que K está en L ² ( X , m ), por lo tanto T es compacto . Por las propiedades espectrales de los operadores compactos, cualquier λ no nulo en σ ( T ) es un autovalor. Pero se puede demostrar que T no tiene autovalores no nulos, por lo tanto T es cuasinilpotente.