Órbita nilpotente

En matemáticas, las órbitas nilpotentes son generalizaciones de matrices nilpotentes que desempeñan un papel importante en la teoría de la representación de grupos de Lie semisimples reales y complejos y álgebras de Lie semisimples .

Un elemento X de un álgebra de Lie semisimple g se llama nilpotente si su endomorfismo adjunto

ad X : g → g , ad X ( Y ) = [ X , Y ]       

es nilpotente, es decir, ( ad X ) ⁿ  = 0 para n  suficientemente grande . Equivalentemente, X es nilpotente si su polinomio característico p _{ad X} ( t ) es igual a t ^{dim g} .

Un grupo de Lie semisimple o grupo algebraico G actúa sobre su álgebra de Lie mediante la representación adjunta , y la propiedad de ser nilpotente es invariante bajo esta acción. Una órbita nilpotente es una órbita de la acción adjunta tal que cualquiera (o, equivalentemente, todos) de sus elementos es (son) nilpotente(s).

Nilpotente${\displaystyle n\times n}$Las matrices con entradas complejas forman el principal caso motivador de la teoría general, correspondiente al grupo lineal general complejo . A partir de la forma normal de Jordan de matrices sabemos que cada matriz nilpotente es conjugada a una matriz única con bloques de Jordan de tamaños${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{r},}$dónde${\displaystyle \lambda }$es una partición de n . Por lo tanto, en el caso n = 2 hay dos órbitas nilpotentes, la órbita cero que consiste en la matriz cero y que corresponde a la partición ( 1 , 1 ) y la órbita principal que consiste en todas las matrices no nulas A con traza y determinante cero,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x&y\\z&-x\end{bmatrix}},\quad (x,y,z)\neq (0,0,0)\quad {\;}}$con${\displaystyle x^{2}+yz=0,}$

correspondiente a la partición ( 2 ). Geométricamente, esta órbita es un cono cuadrático complejo bidimensional en el espacio vectorial de cuatro dimensiones de${\displaystyle 2\times 2}$matrices menos su vértice.

El grupo lineal especial complejo es un subgrupo del grupo lineal general con las mismas órbitas nilpotentes. Sin embargo, si reemplazamos el grupo lineal especial complejo por el grupo lineal especial real , pueden surgir nuevas órbitas nilpotentes. En particular, para n = 2 ahora hay 3 órbitas nilpotentes: la órbita cero y dos semiconos reales (sin el vértice), correspondientes a valores positivos y negativos de${\displaystyle yz}$en la parametrización anterior.

• Las órbitas nilpotentes pueden caracterizarse como aquellas órbitas de la acción adjunta cuyo cierre de Zariski contiene 0.
• Las órbitas nilpotentes son finitas en número.
• El cierre de Zariski de una órbita nilpotente es una unión de órbitas nilpotentes.
• Teorema de Jacobson-Morozov : sobre un cuerpo de característica cero , cualquier elemento nilpotente e puede incluirse en una _tripleta sl² { e , h , f } y todas esas tripletas son conjugadas por Z _G ( e ), el centralizador de e en G. Junto con la teoría de representación de sl² , esto permite etiquetar órbitas nilpotentes mediante datos combinatorios finitos, dando lugar a la clasificación _de Dynkin-Kostant de órbitas nilpotentes.

Las órbitas nilpotentes forman un conjunto parcialmente ordenado : dadas dos órbitas nilpotentes, O ₁ es menor o igual que O ₂ si O ₁ está contenida en la clausura de Zariski de O _2. Este poset tiene un único elemento mínimo, la órbita cero, y un único elemento máximo, la órbita nilpotente regular , pero en general, no es un poset graduado . Si el cuerpo base es algebraicamente cerrado, entonces la órbita cero está cubierta por una única órbita, llamada órbita mínima , y ​​la órbita regular cubre una única órbita, llamada órbita subregular .

En el caso del grupo lineal especial SL _n , las órbitas nilpotentes están parametrizadas por las particiones de n . Según un teorema de Gerstenhaber , el orden de las órbitas corresponde al orden de dominancia en las particiones de n . Además, si G es un grupo de isometría de forma bilineal , es decir, un subgrupo ortogonal o simpléctico de SL _n , entonces sus órbitas nilpotentes están parametrizadas por particiones de n que satisfacen una cierta condición de paridad y la estructura de poset correspondiente está inducida por el orden de dominancia en todas las particiones (este es un teorema no trivial, debido a Gerstenhaber y Hesselink).

• Representación adjunta

• David Collingwood y William McGovern. Órbitas nilpotentes en álgebra de Lie semisimple . Serie de Matemáticas de Van Nostrand Reinhold. Van Nostrand Reinhold Co., Nueva York, 1993. ISBN 0-534-18834-6
• Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de Lie semisimples divididas" , Elementos de matemáticas: Grupos de Lie y álgebras de Lie: Capítulos 7–9
• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Introducción a las álgebras de Lie (1.ª  ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0.
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Varadarajan, VS (2004), Grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones (1.ª  ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9.