Número

En matemáticas , los nimbers , también llamados números de Grundy (que no deben confundirse con los números cromáticos de Grundy ), se introducen en la teoría de juegos combinatorios , donde se definen como los valores de los montículos en el juego Nim . Los nimbers son la misma clase propia que los números ordinales , pero dotados de suma y multiplicación de nimbers , que son distintas de la suma y multiplicación ordinales .

Debido al teorema de Sprague-Grundy , que establece que todo juego imparcial es equivalente a un montón de Nim de cierto tamaño, los nimbers surgen en una clase mucho más amplia de juegos imparciales. También pueden aparecer en juegos partidistas como Domineering .

Las operaciones de suma y multiplicación de nimbers son asociativas y conmutativas. Cada nimber es su propio inverso aditivo . En particular, para algunos pares de ordinales, la suma de sus nimbers es menor que cualquiera de los sumandos. ^{[ 1 ]} La operación de exclusión mínima se aplica a conjuntos de nimbers.

Como clase, los nimbers se indexan mediante números ordinales y forman una subclase de números surrealistas , introducidos por John Conway como parte de su teoría de juegos combinatorios . ^{[ 2 ]} Sin embargo, los nimbers se distinguen de los números ordinales y surrealistas en que siguen reglas aritméticas distintas : la suma de nim y la multiplicación de nim. Además de ser una clase propia en lugar de un conjunto, los nimbers forman un cuerpo bajo la suma de nim y la multiplicación de nim. El cuerpo de nimbers se denota On ₂ .

Como conjunto, los números finitos pueden establecer una correspondencia biunívoca con los números ordinales finitos, que son los números naturales . Sin embargo, sus estructuras aritméticas no son isomorfas ; la aritmética de números difiere fundamentalmente de las operaciones aritméticas ordinarias con números naturales.

Los números suelen representarse mediante una notación de estrella.${\displaystyle \{*0,*1,*2,...,*\omega ,*(\omega +1),...\}}$. Alternativamente, las expresiones que se interpretan como aritmética ordinaria se suelen encerrar entre corchetes; por ejemplo,${\displaystyle 2^{2}=*(2)^{2}=3}$en la multiplicación de nim, pero${\displaystyle [2^{2}]=*(2^{2})=4}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La suma de Nimber (también conocida como suma de nim ) se puede utilizar para calcular el tamaño de un único montón de nim equivalente a una colección de montones de nim. Se define recursivamente por $${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{\alpha '\oplus \beta$$ :\alpha '<\alpha \}\cup \{\alpha \oplus \beta ':\beta '<\beta \}{\bigr )},} donde el mínimo excluyente mex( S ) de un conjunto S de ordinales se define como el ordinal más pequeño que no es un elemento de S .

Para ordinales finitos, la suma nim se puede calcular fácilmente en una computadora aplicando la operación OR exclusiva (XOR, denotada por ⊕ ) a las representaciones binarias de los números correspondientes. Por ejemplo, la suma nim de 7 y 14 se puede calcular escribiendo 7 como 111 y 14 como 1110; la operación XOR de estos dos números binarios es 1001, por lo que su suma nim es 9.

Esta propiedad de la suma se deduce del hecho de que tanto mex como XOR dan como resultado una estrategia ganadora para Nim y solo puede haber una de ellas; o bien, se puede demostrar directamente por inducción: Sean α y β dos ordinales finitos, y supongamos que la suma de Nim de todos los pares con uno de ellos reducido ya está definida. El único número cuya XOR con α es α ⊕ β es β , y viceversa; por lo tanto, α ⊕ β queda excluido. $${\displaystyle \zeta$$ :=\alpha \oplus \beta \oplus \gamma } Por otro lado, para cualquier ordinal γ < α ⊕ β , aplicar XOR a ζ con todos α , β y γ debe conducir a una reducción para uno de ellos (ya que el 1 principal en ζ debe estar presente en al menos uno de los tres); ya que $${\displaystyle \zeta \oplus \gamma =\alpha \oplus \beta >\gamma ,}$$ debemos tener o $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha >\zeta \oplus \alpha &=\beta \oplus \gamma ,\quad {\text{o}}\\[4pt]\beta >\zeta \oplus \beta &=\alpha \oplus \gamma .\end{aligned}}}$$ Por lo tanto, γ se incluye como $${\displaystyle {\begin{aligned}(\beta \oplus \gamma )\oplus \beta ,\quad {\text{o}}\\[4pt]\alpha \oplus (\alpha \oplus \gamma );\end{aligned}}}$$ y por lo tanto α ⊕ β es el ordinal excluido mínimo.

La suma de nimber es asociativa y conmutativa , con 0 como elemento neutro aditivo . Además, un nimber es su propio inverso aditivo . ^{[ 7 ]} De ello se deduce que α ⊕ β = 0 si y solo si α = β .

La multiplicación de Nimber ( multiplicación de nim ) se define recursivamente por

$${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\operatorname {mex} \!{\bigl (}\{(\alpha '\otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \beta ')\oplus (\alpha '\otimes \beta '):\alpha '<\alpha ,\beta '<\beta \}{\bigr )}.}$$

La multiplicación de nimber es asociativa y conmutativa, con el ordinal 1 como elemento neutro multiplicativo . Además, la multiplicación de nimber se distribuye sobre la suma de nimber. ^{[ 7 ] [ a ]}

Así, salvo por el hecho de que los nimbers forman una clase propia y no un conjunto, la clase de nimbers forma un anillo . De hecho, incluso determina un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 2, con el inverso multiplicativo de un ordinal α distinto de cero dado por

$${\displaystyle \alpha ^{-1}=\operatorname {mex} (S),}$$ donde S es el conjunto más pequeño de ordinales (números) tal que

1. 0 es un elemento de S ;
2. si 0 < α ′ < α y β' es un elemento de S , entonces${\displaystyle (1\oplus (\alpha '\oplus \alpha )\otimes \beta ')\otimes (\alpha ')^{-1}}$también es un elemento de S.

Para todos los números naturales n , el conjunto de nimbers menores que [2 ^{2 n} ] forma el cuerpo de Galois GF(2 ^{2 n} ) de orden 2 ^{2 n} . Por lo tanto, el conjunto de nimbers finitos es isomorfo al límite directo cuando n → ∞ de los cuerpos GF(2 ^{2 n} ) . Este subcuerpo no es algebraicamente cerrado, ya que ningún cuerpo GF(2 ^k ) con k distinto de una potencia de 2 está contenido en ninguno de esos cuerpos, y por lo tanto no en su límite directo; por ejemplo, el polinomio x ³ + x + 1 , que tiene una raíz en GF(2 ³ ) , no tiene una raíz en el conjunto de nimbers finitos. 

Al igual que en el caso de la suma de números, existe un método para calcular el producto de números de ordinales finitos. Esto se determina mediante las reglas que

1. El producto numérico de una potencia de Fermat 2 (números de la forma [2 ^{2 n} ] ) con un número menor es igual a su producto ordinario;
2. El cuadrado del número de Fermat de 2 potencia [2 ^{2 n} ] es igual a [3·2 ^{2 n −1} ] .

Las extensiones subsiguientes a números infinitos agregan extensiones para cada grado primo; por ejemplo, el siguiente conjunto de extensiones (hasta ω ^ω ) son las de grado 3 ⁿ sobre los números finitos: ^{[ 3 ]}

1. ω ³ = 2 ;
2. Para n ≥ 1 , [ ω ^{3 n} ] ³ = [ ω ^{3 n −1} ] .

El cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño de nimbers es el conjunto de nimbers menores que el ordinal ω ^{ω ω} , donde ω es el ordinal infinito más pequeño. De ello se deduce que, como nimber, ω ^{ω ω} es trascendental sobre el cuerpo. ^{[ 8 ]} El siguiente elemento trascendental es desconocido. ^{[ 3 ]}

Las siguientes tablas muestran sumas y multiplicaciones entre los primeros 16 números.

Este subconjunto es cerrado bajo ambas operaciones, ya que 16 es de la forma [2 ^{2 n} ] . 

Se puede construir un campo similar On _p sobre la clase de todos los ordinales para cada característica prima p , en el que la suma se interpreta como suma de base p sin acarreo, y así sucesivamente, pero las definiciones son más complicadas. ^{[ 4 ] [ 3 ]} Por ejemplo, la suma nim en On ₃ se define recursivamente como: $${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} (\{\alpha '\oplus \beta$$ :\alpha '<\alpha \}\cup \{\alpha \oplus \beta ':\beta '<\beta \}\cup \{\alpha '\oplus \beta ':\alpha '<\alpha \wedge \beta '<\beta \wedge \alpha '+\beta =\alpha +\beta '\}).} La estructura de cada En _p es similar por debajo de ω ^{ω ω} : una serie de extensiones cuadráticas hasta ω , seguidas de extensiones para cada grado primo hasta cada ω ^{ω n} , con ω ^{ω ω} como el elemento trascendental más pequeño. Los nimbers finitos forman el límite directo de GF( p ^{2 n} ) para todo n , de modo que el producto de distintas p- potencias de Fermat (números de la forma [ p ^{2 n} ] ) es su producto ordinario, y el cuadrado de una p -potencia de Fermat se define de modo que existe un elemento primitivo . Por ejemplo, para On ₃ , podemos tomar 3 ² = 2 , 9 ² = 4 , y [3 ^{2 n} ] ² = 3 ^{2 n −1} para n ≥ 2 . Se ha descrito una definición general para la suma y la multiplicación de nim módulo p , incluyendo las reglas para nimbers menores que ω ^{ω ω} . ^{[ 3 ]}

También es posible definir On ₀ de característica 0 usando la definición inductiva de On _p . En este caso, el cuerpo más pequeño son los ordinales menores que ω ^ω , y es isomorfo a los números racionales . ^{[ 3 ]}

• Número surrealista