pívot de nueve puntos

En geometría , el centro de nueve puntos es el centro de un triángulo , un punto definido a partir de un triángulo dado de manera independiente de su posición o escala. Se denomina así porque es el centro del círculo de nueve puntos , un círculo que pasa por nueve puntos significativos del triángulo: los puntos medios de los tres lados, los pies de las tres alturas y los puntos intermedios entre el ortocentro y cada uno de los tres vértices. El centro de nueve puntos aparece como el punto X(5) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos de Clark Kimberling . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El centro de nueve puntos N se encuentra en la línea de Euler de su triángulo, en el punto medio entre el ortocentro H y el circuncentro O de dicho triángulo . El baricentro G también se encuentra en la misma línea, a 2/3 de la distancia entre el ortocentro y el circuncentro, ^{[ 2 ]} por lo que

${\displaystyle |NO|=|NH|=3|NG|.}$

Por lo tanto, si se conocen dos de los centros de cualquiera de estos cuatro triángulos, se pueden determinar las posiciones de los otros dos a partir de ellos.

Andrew Guinand demostró en 1984, como parte de lo que ahora se conoce como el problema de determinación de triángulos de Euler , que si se conocen las posiciones de los centros de un triángulo desconocido, entonces el incentro del triángulo se encuentra dentro del círculo ortocentroide (el círculo cuyo diámetro es el segmento que une el centroide con el ortocentro). El único punto dentro de este círculo que no puede ser el incentro es el centro de nueve puntos, y cualquier otro punto interior del círculo es el incentro de un triángulo único. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

La distancia desde el centro de nueve puntos hasta el incentro I satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}&|IN|<{\tfrac {1}{2}}|IO|,\\&|IN|={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot |IN|=|OI|^{2},\end{aligned}}}$

donde R y r son el radio circunscrito y el radio inscrito respectivamente.

El centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial del triángulo dado, el circuncentro del triángulo órtico del mismo y el circuncentro del triángulo de Euler. En términos más generales, es el circuncentro de cualquier triángulo definido a partir de tres de los nueve puntos que conforman la circunferencia de nueve puntos.

El centro de nueve puntos se encuentra en el centroide de cuatro puntos: los tres vértices del triángulo y su ortocentro . ^{[ 7 ]}

Las rectas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos tales que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. ^{[ 8 ] : p.111}

De los nueve puntos que definen el círculo de nueve puntos, los tres puntos medios de los segmentos de recta entre los vértices y el ortocentro son reflexiones de los puntos medios del triángulo con respecto a su centro de nueve puntos. Por lo tanto, el centro de nueve puntos forma el centro de una reflexión puntual que transforma el triángulo medial en el triángulo de Euler, y viceversa.

Según el teorema de Lester , el centro de nueve puntos se encuentra en un círculo común con otros tres puntos: los dos puntos de Fermat y el circuncentro. ^{[ 9 ]}

El punto de Kosnita de un triángulo, un centro triangular asociado con el teorema de Kosnita , es el conjugado isogonal del centro de nueve puntos. ^{[ 10 ]}

Las coordenadas trilineales para el centro de nueve puntos son ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&&\cos(BC)&:&\cos(CA)&:&\cos(AB)\\[2pt]&=&\cos A+2\cos B\cos C&:&\cos B+2\cos C\cos A&:&\cos C+2\cos A\cos B\\[2pt]&=&\cos A-2\sin B\sin C&:&\cos B-2\sin C\sin A&:&\cos C-2\sin A\sin B\\[2pt]&=&bc\left[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}\right]&:&ca\left[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}\right]&:&ab\left[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\right].\end{array}}}$$

Las coordenadas baricéntricas del centro de nueve puntos son ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&&(&a\cos(BC),&b\cos(CA),&c\cos(AB)&)\\[2pt]&=&(&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2},&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2},&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}&).\end{array}}}$$

Por lo tanto, si y solo si dos de los ángulos del vértice difieren entre sí en más de 90°, una de las coordenadas baricéntricas es negativa y, por lo tanto, el centro de nueve puntos está fuera del triángulo.

• Weisstein, Eric W. , "Centro de nueve puntos" , MathWorld