Cónica de nueve puntas

En geometría , la cónica de nueve puntos de un cuadrilátero completo es una cónica que pasa por los tres puntos diagonales y los seis puntos medios de los lados del cuadrilátero completo.

La cónica de nueve puntos fue descrita por Maxime Bôcher en 1892. ^{[ 1 ]} El círculo de nueve puntos, más conocido, es un ejemplo de la cónica de Bôcher. La hipérbola de nueve puntos es otro ejemplo.

Bôcher utilizó los cuatro puntos del cuadrilátero completo como tres vértices de un triángulo con un punto independiente:

Dado un triángulo △ ABC y un punto P en su plano, se puede trazar una cónica que pase por los siguientes nueve puntos:

los puntos medios de los lados de △ ABC ,

los puntos medios de las líneas que unen P con los vértices, y

los puntos donde estas últimas líneas cortan los lados del triángulo.

La cónica es una elipse si P se encuentra en el interior del triángulo ABC o en una de las regiones del plano separadas del interior por dos lados del triángulo; de lo contrario, la cónica es una hipérbola . Bôcher señala que cuando P es el ortocentro , se obtiene el círculo de nueve puntos, y cuando P se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC , entonces la cónica es una hipérbola equilátera.

En 1912, Maud Minthorn demostró que la cónica de nueve puntos es el lugar geométrico del centro de una cónica que pasa por cuatro puntos dados. ^{[ 2 ]}

La cónica de nueve puntos con respecto a una línea l es la cónica que pasa por los seis conjugados armónicos de la intersección de los lados del cuadrilátero completo con l .

• Fanny Gates (1894) Algunas consideraciones sobre la cónica de nueve puntos y su recíproca , Annals of Mathematics 8(6):185–8, enlace desde Jstor.
• Cónica de nueve puntos de Eric W. Weisstein, de MathWorld .
• Michael DeVilliers (2006) La cónica de nueve puntos: un redescubrimiento y demostración por computadora de International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , una publicación de Taylor & Francis .
• Christopher Bradley La cónica de nueve puntos y un par de líneas paralelas Archivado el 4 de marzo de 2016 en la Wayback Machine de la Universidad de Bath .

• WG Fraser (1906) "Sobre las relaciones de ciertas cónicas con un triángulo", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 25:38–41.
• Thomas F. Hogate (1894) Sobre el cono de segundo orden que es análogo a la cónica de nueve puntos , Anales de Matemáticas 7:73–6.
• P. Pinkerton (1905) "Sobre una cónica de nueve puntos, etc.", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 24:31–3.

• Generalización de la cónica de nueve puntos y la línea de Euler en Dynamic Geometry Sketches.