Teorema de Niven

En matemáticas , el teorema de Niven , que lleva el nombre de Ivan Niven , establece que los únicos valores racionales de θ en el intervalo 0 ° ≤ θ ≤ 90° para los cuales el seno de θ  grados también es un número racional son: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

En radianes , se requeriría que 0 ≤ x ≤ π /2 , que x / π sea racional y que sin( x ) sea racional. La conclusión es entonces que los únicos valores que cumplen estas condiciones son sin(0) = 0 , sin( π /6) = 1/2 , y sin( π /2) = 1 .

El teorema aparece como Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales . ^{[ 2 ]}

El teorema se extiende también a las demás funciones trigonométricas . ^{[ 2 ]} Para valores racionales de θ , los únicos valores racionales del seno o coseno (es decir, los únicos números trigonométricos racionales ) son 0 , ± 1/2 y ± 1 ; los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ± 1 y ± 2 ; y los únicos ^valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ± 1. [ ^{3 ]}

La demostración del teorema de Niven aparece en su libro Números irracionales . Anteriormente, el teorema había sido demostrado por DH Lehmer y JMH Olmstead. ^{[ 2 ]} En su artículo de 1933, Lehmer demostró el teorema para el coseno probando un resultado más general. Es decir, Lehmer mostró que para enteros primos relativos k y n con n > 2 , el número 2 cos(2 π k / n ) es un número algebraico de grado φ ( n )/2 , donde φ denota la función totiente de Euler . Como los números racionales tienen grado 1, debemos tener n ≤ 2 o φ ( n ) = 2 y por lo tanto las únicas posibilidades son n = 1,2,3,4,6 . A continuación, demostró un resultado correspondiente para el seno utilizando la identidad trigonométrica sin( θ ) = cos( θ − π /2) . ^{[ 4 ]} En 1956, Niven extendió el resultado de Lehmer a las demás funciones trigonométricas. ^{[ 2 ]} Otros matemáticos han dado nuevas demostraciones en años posteriores. ^{[ 3 ]}

• Las ternas pitagóricas forman triángulos rectángulos donde las funciones trigonométricas siempre tomarán valores racionales, aunque los ángulos agudos no sean racionales.

• Olmsted, JMH (1945). "Valores racionales de funciones trigonométricas". The American Mathematical Monthly . 52 (9): 507– 508. doi : 10.2307/2304540 . JSTOR 2304540 . 
• Jahnel, Jörg (2010). "¿Cuándo es el (co)seno de un ángulo racional igual a un número racional?". arXiv : 1006.2938 [ math.HO ].

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Niven" . MundoMatemático .