Teorema de no interacción

En mecánica clásica , el teorema de no interacción es un teorema de imposibilidad que demuestra que un sistema de muchas partículas interactuando no puede existir cuando se considera la relatividad especial . Concluye que la única configuración permitida es la de un sistema de partículas libres . Este teorema es importante para la física moderna , ya que sugiere la necesidad de introducir campos para describir las interacciones entre partículas. Este teorema excluye la posibilidad de acción a distancia . La comprensión moderna de las interacciones fundamentales ( gravedad , electromagnetismo y fuerzas nucleares ) es que los objetos pueden interactuar perturbando localmente los campos en los que se propaga cada interacción.

Existen diversas formulaciones del teorema. La primera versión fue presentada por Douglas G. Currie, Thomas F. Jordan y EC George Sudarshan en 1963, ^{[ 1 ]} extendida por John T. Cannon y Jordan en 1964, ^{[ 2 ]} y generalizada por Heinrich Leutwyler en 1965. ^{[ 3 ]} Una formulación alternativa fue presentada por Hendrik van Dam y Eugene Wigner ^{[ 4 ]} en 1966. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Consideremos un sistema con un número finito N de partículas descrito por la relatividad especial utilizando la mecánica lagrangiana o hamiltoniana . El teorema de no interacción establece que, aparte de las fuerzas de contacto , no puede haber interacción directa entre dos partículas cualesquiera de una forma que sea manifiestamente invariante bajo transformaciones de Lorentz (covariante). ^{[ 6 ] [ 8 ]} El teorema se puede demostrar explícitamente utilizando tres postulados:

1. Conservación del momento lineal total: el cuadrimomento total en un momento dado.${\textstyle t}$se expresa como ${\textstyle P^{\mu }(t)=\sum _ {a=1}^{N}P_{(a)}^{\mu }(t)}$, dónde${\textstyle P_{(a)}^{\mu }(t)}$es el cuadrimomento de partícula${\textstyle a}$El postulado supone que${\textstyle P^{\mu }(t)={\text{constante}}}$en cualquier momento.
2. No es coincidencia: no hay dos partículas distintas.${\textstyle a}$y${\textstyle b}$con los tiempos adecuados${\textstyle t_{a},t_{b}}$de tal manera que${\textstyle P_{(a)}^{\mu }(t_{a})=P_{(b)}^{\mu }(t_{b})}$.
3. Líneas de universo asintóticamente rectas : para tiempos grandes,${\textstyle t_{a}\to \pm \infty }$,${\textstyle P_{(a)}^{\mu }(t_{a})\to {\text{constante}}}$.

lo que implica que el momento de las partículas individuales es constante (sin interacciones) en cualquier momento. El tercer postulado implica que el momento total se transforma bajo transformaciones de Lorentz . ^{[ 9 ]}

Las demostraciones más avanzadas se basan en argumentos de teoría de grupos . ^{[ 10 ] [ 9 ]}

El teorema de no interacción indica que dos partículas clásicas de masa${\displaystyle m}$no puede interactuar. Si${\textstyle u_{(1)}^{\mu }}$es la cuadrivelocidad de la partícula 1 y${\textstyle u_{(2)}^{\mu }}$la cuadrivelocidad de la partícula 2, el momento total es ^{[ 7 ]}$${\displaystyle P^{\mu }=mu_{(1)}^{\mu }+mu_{(2)}^{\mu }.}$$En otro fotograma, el cuadrimomento se transforma como$${\displaystyle P'^{\mu }=a^{\mu }{}_{\nu }P^{\nu }}$$para algún impulso de Lorentz${\textstyle a^{\mu }{}_{\nu }}$.

Van Dam y Wigner demuestran por contradicción que el momento no se conserva a menos que las partículas entren en contacto. ^{[ 7 ]} Suponiendo que la partícula 1 está en el punto P en el tiempo${\textstyle t=0}$y también en el punto P en el tiempo${\textstyle t'=0}$(siguiendo su línea de universo), y la partícula 2 está en el punto Q en${\textstyle t=0}$y en Q' en${\textstyle t'=0}$, la transformación del momento total viene dada por$${\displaystyle mu_{(1)}^{\prime \mu }|_{P}+mu_{(2)}^{\prime \mu }|_{Q}=a^{\mu }{}_{\nu }\left(mu_{(1)}^{\nu }|_{P}+mu_{(2)}^{\nu }|_{Q'}\right),}$$pero como la cuadrivelocidad en el punto P también se transforma como$${\displaystyle u_{(1)}^{\prime \mu }|_{P}=a^{\mu }{}_{\nu }u_{(1)}^{\nu }|_{P},}$$y en el punto Q como$${\displaystyle u_{(2)}^{\prime \mu }|_{Q}=a^{\mu }{}_{\nu }u_{(2)}^{\nu }|_{Q},}$$como${\textstyle a^{\mu }{}_{\nu }}$es arbitrario concluimos que$${\displaystyle u_{(2)}^{\mu }|_{Q'}=u_{(2)}^{\mu }|_{Q},}$$Esto significa que la velocidad de la partícula 2 permanece constante al moverse de Q a Q'. Este resultado implica que el momento lineal de cada partícula permanece constante, lo cual solo es posible si las partículas no interactúan.