Segundo teorema de Noether

Supongamos que tenemos un sistema dinámico especificado en términos de${\textstyle m}$variables independientes${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$,${\textstyle n}$variables dependientes${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$y una función lagrangiana${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$de algún orden finito${\textstyle r}$. Aquí${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$es la colección de todos${\textstyle k}$Derivadas parciales de orden de las variables dependientes. Como regla general, índices latinos${\textstyle i,j,k,\dots }$desde el medio del alfabeto toma los valores${\textstyle 1,\dots ,m}$, los índices griegos toman los valores${\textstyle 1,\dots ,n}$y la convención de suma se aplica a ellos. También se introduce la notación de índice múltiple para los índices latinos de la siguiente manera. Un índice múltiple${\textstyle I}$de longitud${\textstyle k}$es una lista ordenada${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$de${\textstyle k}$índices ordinarios. La longitud se denota como${\textstyle \left|I\right|=k}$La convención de suma no se aplica directamente a los multiíndices, ya que la suma sobre las longitudes debe mostrarse explícitamente, por ejemplo$${\displaystyle \sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.}$$La variación del lagrangiano con respecto a una variación arbitraria${\textstyle \delta u^{\sigma }}$de las variables dependientes es$${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },}$$y aplicando la regla del producto inverso de la diferenciación obtenemos$${\displaystyle \delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right),}$$dónde$${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}}$$son las expresiones de Euler-Lagrange del lagrangiano y los coeficientes${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$(Momentos lagrangianos) vienen dados por$${\displaystyle P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}.}$$

Una variación${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$es una simetría infinitesimal del lagrangiano${\textstyle L}$si${\textstyle \delta L=0}$bajo esta variación. Es una cuasi-simetría infinitesimal si hay una corriente${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$de tal manera que${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$.

Cabe señalar que es posible extender las (cuasi)simetrías infinitesimales incluyendo variaciones con${\displaystyle \delta x^{i}\neq 0}$Asimismo, es decir, las variables independientes también varían. Sin embargo, tales simetrías siempre pueden reescribirse de manera que actúen solo sobre las variables dependientes. Por lo tanto, en lo que sigue nos restringimos a las llamadas variaciones verticales donde${\displaystyle \delta x^{i}=0}$.

Para el segundo teorema de Noether, consideramos aquellas simetrías variacionales (llamadas simetrías de gauge ) que están parametrizadas linealmente por un conjunto de funciones arbitrarias y sus derivadas. Estas variaciones tienen la forma genérica$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$donde los coeficientes${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}}$puede depender de las variables independientes y dependientes, así como de las derivadas de estas últimas hasta cierto orden finito, la${\displaystyle \lambda ^{a}=\lambda ^{a}(x)}$son funciones arbitrariamente especificables de las variables independientes y los índices latinos${\displaystyle a,b,\dots }$tomar los valores${\displaystyle 1,\dots ,q}$, dónde${\displaystyle q}$es algún número entero positivo.

Para que estas variaciones sean simetrías de gauge (exactas, es decir, no cuasi-) del lagrangiano, es necesario que${\displaystyle \delta _{\lambda }L=0}$para todas las posibles opciones de las funciones${\displaystyle \lambda ^{a}(x)}$. Si las variaciones son cuasi-simetrías, entonces es necesario que la corriente también dependa lineal y diferencialmente de las funciones arbitrarias, es decir, entonces${\displaystyle \delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}}$, dónde$${\displaystyle K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots }$$Para simplificar, asumiremos que todas las simetrías de gauge son simetrías exactas, pero el caso general se trata de manera similar.

El enunciado del segundo teorema de Noether es que siempre que se dé un lagrangiano${\textstyle L}$como se indicó anteriormente que admite simetrías de gauge${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$parametrizado linealmente por${\displaystyle q}$funciones arbitrarias y sus derivadas, entonces existen${\displaystyle q}$relaciones diferenciales lineales entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de${\textstyle L}$.

Combinando la primera fórmula de variación junto con el hecho de que las variaciones${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$son simetrías, obtenemos$${\displaystyle 0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },}$$donde en el primer término proporcional a las expresiones de Euler-Lagrange, se pueden realizar integraciones adicionales por partes como$${\displaystyle E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),}$$dónde$${\displaystyle Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),}$$en particular para${\textstyle |I|=0}$,$${\displaystyle Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).}$$Por lo tanto, tenemos una relación fuera de la capa$${\displaystyle 0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},}$$dónde${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$con${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$Esta relación es válida para cualquier elección de los parámetros del medidor.${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$. Al elegirlas con soporte compacto e integrar la relación sobre la variedad de variables independientes, los términos de divergencia total integral se anulan debido al teorema de Stokes . Entonces, a partir del lema fundamental del cálculo de variaciones , obtenemos que${\displaystyle Q_{a}\equiv 0}$idénticamente como relaciones fuera de la capa (de hecho, dado que el${\displaystyle Q_{a}}$son lineales en las expresiones de Euler-Lagrange, necesariamente se anulan en la capa de masas). Insertando esto de nuevo en la ecuación inicial, también obtenemos la ley de conservación fuera de la capa de masas.${\displaystyle d_{i}S_{\lambda }^{i}=0}$.

Las expresiones${\displaystyle Q_{a}}$son diferenciales en las expresiones de Euler-Lagrange, específicamente tenemos$${\displaystyle Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },}$$dónde$${\displaystyle F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$Por lo tanto, las ecuaciones$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$$son${\textstyle q}$relaciones diferenciales a las que están sujetas las expresiones de Euler-Lagrange y, por lo tanto, las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema no son independientes.

También se puede establecer un recíproco del segundo teorema de Noether. Específicamente, supongamos que las expresiones de Euler-Lagrange${\displaystyle E_{\sigma }}$del sistema están sujetos a${\displaystyle q}$relaciones diferenciales$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.}$$Alquiler${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$ser arbitrario${\textstyle q}$- tupla de funciones, el adjunto formal del operador${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$actúa sobre estas funciones a través de la fórmula$${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$que define el operador adjunto${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }}$de forma única. Los coeficientes del operador adjunto se obtienen mediante integración por partes como antes, específicamente$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$dónde$${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$Luego, la definición del operador adjunto junto con las relaciones${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$indicar que para cada${\textstyle q}$-tupla de funciones${\displaystyle \lambda }$, el valor del adjunto en las funciones cuando se contrae con las expresiones de Euler-Lagrange es una divergencia total, a saber:${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$Por lo tanto, si definimos las variaciones$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$la variación$${\displaystyle \delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)}$$del lagrangiano es una divergencia total, de ahí las variaciones${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$son cuasi-simetrías para cada valor de las funciones${\displaystyle \lambda ^{a}}$.