Nomograma

Un nomograma ( del griego νόμος (nomos) ' ley ' y γράμμα ( gramma ) ' lo que se dibuja ' ), también llamado nomógrafo , tabla de alineación o abac , es un dispositivo de cálculo gráfico , un diagrama bidimensional diseñado para permitir el cálculo gráfico aproximado de una función matemática . El campo de la nomografía fue inventado en 1884 por el ingeniero francés Philbert Maurice d'Ocagne (1862-1938) y se utilizó ampliamente durante muchos años para proporcionar a los ingenieros cálculos gráficos rápidos de fórmulas complicadas con una precisión práctica. Los nomogramas utilizan un sistema de coordenadas paralelas inventado por d'Ocagne en lugar de las coordenadas cartesianas estándar .

Un nomograma consta de un conjunto de n escalas, una para cada variable de una ecuación. Conociendo los valores de n-1 variables, se puede hallar el valor de la variable desconocida; o bien, fijando los valores de algunas variables, se puede estudiar la relación entre las variables no fijas. El resultado se obtiene trazando una regla sobre los valores conocidos en las escalas y leyendo el valor desconocido en el punto donde cruza la escala correspondiente a esa variable. La línea virtual o dibujada, creada por la regla, se denomina línea índice o isopleta .

Los nomogramas se popularizaron en diversos contextos durante aproximadamente 75 años, ya que permitían realizar cálculos rápidos y precisos antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo. Los resultados de un nomograma se obtienen de forma rápida y fiable simplemente dibujando una o más líneas. El usuario no necesita saber resolver ecuaciones algebraicas, consultar tablas, usar una regla de cálculo ni sustituir números en ecuaciones para obtener resultados. Ni siquiera necesita conocer la ecuación subyacente que representa el nomograma. Además, los nomogramas incorporan de forma natural conocimientos específicos, tanto implícitos como explícitos , en su diseño. Por ejemplo, para crear nomogramas más extensos y precisos, el nomógrafo suele incluir únicamente rangos de escala razonables y relevantes para el problema. Muchos nomogramas incluyen otras marcas útiles, como etiquetas de referencia y regiones coloreadas. Todas ellas proporcionan puntos de referencia útiles para el usuario.

Al igual que una regla de cálculo, un nomograma es un dispositivo gráfico de cálculo analógico. También como una regla de cálculo, su precisión está limitada por la exactitud con la que se pueden dibujar, reproducir, visualizar y alinear las marcas físicas. A diferencia de la regla de cálculo, que es un dispositivo de cálculo de uso general, un nomograma está diseñado para realizar un cálculo específico con tablas de valores integradas en sus escalas . Los nomogramas se utilizan normalmente en aplicaciones para las que el nivel de precisión que proporcionan es suficiente y útil. Alternativamente, un nomograma puede utilizarse para verificar una respuesta obtenida mediante un cálculo más exacto, pero propenso a errores.

Otros tipos de calculadoras gráficas, como los diagramas de intersección , los diagramas trilineales y los diagramas hexagonales , a veces se denominan nomogramas. Estos dispositivos no cumplen con la definición de nomograma como calculadora gráfica cuya solución se obtiene mediante el uso de una o más isópletas lineales.

Descripción

Un nomograma para una ecuación de tres variables suele tener tres escalas distintas, aunque algunos combinan dos o incluso las tres. En este caso, dos escalas representan valores conocidos y la tercera es donde se lee el resultado. La ecuación más sencilla es _u₁ + _u₂+ _u₃= 0 , _dondeu₁ , u₂ y u₃ _son las variables . A la _derecha se muestra un ejemplo de este tipo de nomograma, con anotaciones que describen sus partes.

Las ecuaciones más complejas a veces pueden expresarse como la suma de funciones de las tres variables. Por ejemplo, el nomograma que aparece al principio de este artículo podría construirse como un nomograma de escala paralela, ya que puede expresarse como tal suma tras tomar los logaritmos de ambos lados de la ecuación.

La escala de la variable desconocida puede estar entre las otras dos escalas o fuera de ellas. Los valores conocidos del cálculo se marcan en las escalas correspondientes a dichas variables, y se traza una línea entre estas marcas. El resultado se lee en la escala de la variable desconocida en el punto donde la línea la intersecta. Las escalas incluyen marcas para indicar la ubicación exacta de los números y también pueden incluir valores de referencia etiquetados. Estas escalas pueden ser lineales , logarítmicas o presentar alguna otra relación más compleja.

La isopleta de ejemplo mostrada en rojo en el nomograma al inicio de este artículo calcula el valor de T cuando S = 7,30 y R = 1,17. La isopleta cruza la escala de T justo por debajo de 4,65; una figura más grande impresa en alta resolución en papel daría como resultado T = 4,64 con una precisión de tres dígitos. Cabe destacar que cualquier variable puede calcularse a partir de los valores de las otras dos, una característica de los nomogramas particularmente útil para ecuaciones en las que una variable no puede aislarse algebraicamente de las demás.

Las escalas rectas son útiles para cálculos relativamente sencillos, pero para cálculos más complejos puede ser necesario utilizar escalas curvas, ya sean simples o elaboradas. Se pueden construir nomogramas para más de tres variables incorporando una cuadrícula de escalas para dos de ellas, o bien concatenando nomogramas individuales con menos variables en un nomograma compuesto.

Aplicaciones

Los nomogramas se han utilizado en una amplia gama de aplicaciones. Algunos ejemplos son:

La aplicación original de d'Ocagne consistió en la automatización de complejos cálculos de excavación y relleno para la remoción de tierra durante la construcción del sistema ferroviario nacional francés. Esta fue una importante prueba de concepto, ya que los cálculos no son triviales y los resultados se tradujeron en un ahorro significativo de tiempo, esfuerzo y dinero.
El diseño de canales, tuberías y cables para regular el flujo de agua.
La obra de Lawrence Henderson , en la que se utilizaron nomogramas para correlacionar diversos aspectos de la fisiología sanguínea, fue el primer uso importante de nomogramas en Estados Unidos y también los primeros nomogramas médicos del mundo.
campos médicos, como farmacia y oncología. ^{[ 1 ]}
Cálculos balísticos previos a los sistemas de control de tiro, donde el tiempo de cálculo era fundamental.
Cálculos de taller mecánico para convertir las dimensiones de los planos y realizar cálculos basados en las dimensiones y propiedades del material. Estos nomogramas solían incluir marcas para las dimensiones estándar y para las piezas fabricadas disponibles.
Estadística, para cálculos complejos de propiedades de distribuciones y para investigación operativa, incluido el diseño de pruebas de aceptación para el control de calidad.
Investigación Operativa, para obtener resultados en una variedad de problemas de optimización.
Química e ingeniería química, para englobar tanto las relaciones físicas generales como los datos empíricos de compuestos específicos.
En la aeronáutica, los nomogramas se utilizaron durante décadas en las cabinas de aeronaves de todo tipo. Como ayuda para la navegación y el control de vuelo, los nomogramas eran calculadoras rápidas, compactas y fáciles de usar.
Cálculos astronómicos, como los cálculos orbitales posteriores al lanzamiento del Sputnik 1 realizados por PE Elyasberg . ^{[ 2 ]}
Trabajos de ingeniería de todo tipo: diseño eléctrico de filtros y líneas de transmisión, cálculos mecánicos de esfuerzos y cargas, cálculos ópticos, etc.
En el ámbito militar, donde es necesario realizar cálculos complejos sobre el terreno de forma rápida y con una fiabilidad que no dependa de dispositivos eléctricos.
Sismología , donde se han desarrollado nomogramas para estimar la magnitud de los terremotos y presentar resultados de análisis probabilísticos de peligro sísmico ^{[ 3 ].}

Ejemplos

Resistencia paralela/lente delgada

Nomograma de resistencia eléctrica en paralelo

El nomograma que aparece a continuación realiza el cálculo :

$f(A,B)={\frac {1}{1/A+1/B}}={\frac {AB}{A+B}}$

Este nomograma es interesante porque realiza un cálculo no lineal útil utilizando únicamente escalas rectas graduadas de igual longitud. Mientras que la línea diagonal tiene una escala ${\sqrt {2}}$ veces mayor que las escalas de los ejes, los números que aparecen en él coinciden exactamente con los que están directamente debajo o a su izquierda, por lo que se puede crear fácilmente dibujando una línea recta en diagonal sobre una hoja de papel cuadriculado .

A y B se introducen en las escalas horizontal y vertical, y el resultado se lee en la escala diagonal. Al ser proporcional a la media armónica de A y B , esta fórmula tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo, es la fórmula de resistencia en paralelo en electrónica y la ecuación de lentes delgadas en óptica .

En el ejemplo, la línea roja muestra que dos resistencias en paralelo de 56 y 42 ohmios tienen una resistencia combinada de 24 ohmios. También demuestra que un objeto situado a 56 cm de una lente con una distancia focal de 24 cm forma una imagen real a 42 cm de distancia.

Cálculo de la prueba de chi-cuadrado

El nomograma que se muestra a continuación permite realizar un cálculo aproximado de algunos valores necesarios para llevar a cabo una prueba estadística común: la prueba de chi-cuadrado de Pearson . Este nomograma ilustra el uso de escalas curvas con graduaciones espaciadas de forma irregular.

La expresión pertinente es:

${\frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}$

La escala superior se comparte entre cinco rangos diferentes de valores observados: A, B, C, D y E. El valor observado se encuentra en uno de estos rangos, y la marca de graduación correspondiente se ubica justo encima. A continuación, se selecciona la escala curva para el valor esperado en función del rango. Por ejemplo, un valor observado de 9 usaría la marca de graduación sobre el 9 en el rango A, y la escala curva A se usaría para el valor esperado. Un valor observado de 81 usaría la marca de graduación sobre el 81 en el rango E, y la escala curva E se usaría para el valor esperado. Esto permite incorporar cinco nomogramas diferentes en un solo diagrama.

De esta manera, la línea azul muestra el cálculo de:

(9 − 5) ² / 5 = 3.2

y la línea roja muestra el cálculo de:

(81 − 70) ² / 70 = 1,7

Al realizar la prueba, se suele aplicar la corrección de continuidad de Yates , que consiste simplemente en restar 0,5 a los valores observados. Se podría construir un nomograma para realizar la prueba con la corrección de Yates desplazando cada escala "observada" media unidad hacia la izquierda, de modo que las graduaciones 1,0, 2,0, 3,0, ... se sitúen donde aparecen los valores 0,5, 1,5, 2,5, ... en la tabla actual.

evaluación de riesgos alimentarios

Si bien los nomogramas representan relaciones matemáticas, no todos se derivan matemáticamente. El siguiente se desarrolló gráficamente para obtener resultados finales adecuados que pudieran definirse fácilmente mediante el producto de sus relaciones en unidades subjetivas, en lugar de numéricamente. El uso de ejes no paralelos permitió incorporar las relaciones no lineales al modelo.

Los números en los recuadros indican los ejes que requieren información tras la evaluación correspondiente.

El par de nomogramas en la parte superior de la imagen determina la probabilidad de ocurrencia y la disponibilidad, que luego se incorporan al nomograma multietapa inferior.

Las líneas 8 y 10 son "líneas de enlace" o "líneas de pivote" y se utilizan para la transición entre las etapas del nomograma compuesto.

El último par de escalas logarítmicas paralelas (12) no son nomogramas propiamente dichos, sino escalas de lectura que traducen la puntuación de riesgo (11, de remoto a extremadamente alto) en una frecuencia de muestreo para abordar aspectos de seguridad y otros aspectos de «protección al consumidor», respectivamente. Esta etapa requiere el respaldo político, equilibrando el costo con el riesgo. El ejemplo utiliza una frecuencia mínima de tres años para cada uno, aunque el extremo de alto riesgo de las escalas difiere para ambos aspectos, lo que da como resultado frecuencias distintas para cada uno, pero ambas sujetas a un muestreo mínimo general de cada alimento para todos los aspectos al menos una vez cada tres años.

Este nomograma de evaluación de riesgos fue desarrollado por el Servicio de Análisis Público del Reino Unido con financiación de la Agencia de Normas Alimentarias del Reino Unido para ser utilizado como herramienta para orientar la frecuencia adecuada de muestreo y análisis de alimentos con fines oficiales de control alimentario, y está destinado a ser utilizado para evaluar todos los problemas potenciales con todos los alimentos, aunque aún no ha sido adoptado.

Otros nomogramas rápidos

Usando una regla, se puede leer fácilmente el término faltante de la ley de los senos o las raíces de la ecuación cuadrática y cúbica . ^{[ 4 ]}

Nomograma para la ley de los senos
Nomograma para resolver la ecuación cuadrática x² ⁺ px + q = 0
Nomograma para resolver la ecuación cúbica x³ ⁺ px + q = 0

Véase también

Referencias

↑ Ha, Yun-Sok; Kim, Tae-Hwan (2018), "Capítulo 30 - Vigilancia del cáncer de vejiga músculo-invasivo (MIBC)", en Ku, Ja Hyeon (ed.), Cáncer de vejiga , Academic Press, pp. 553–597 , doi : 10.1016/b978-0-12-809939-1.00030-8 , ISBN 978-0-12-809939-1
↑ Recuerdos de Yu.A.Mozzhorin archivados el 18 de octubre de 2007 en la Wayback Machine del sitio web del archivo estatal ruso de documentación científico-técnica.
↑ Douglas, John; Danciu, Laurentiu (2019-11-08). "Nomograma para ayudar a explicar el peligro sísmico probabilístico" . Journal of Seismology . 24 (1): 221– 228. Bibcode : 2020JSeis..24..221D . doi : 10.1007/s10950-019-09885-4 . hdl : 20.500.11850/379252 . ISSN 1573-157X .
↑ Szalkai, István; Balint, Roland (28 de diciembre de 2017). "Nomogramas para ecuaciones cuadráticas y cúbicas (en húngaro)" (PDF) . Haladvány Kiadvány . 2017 .

Lecturas adicionales

DP Adams, Nomografía: Teoría y aplicación , (Archon Books) 1964.
H.J. Allcock, J. Reginald Jones y J.G.L. Michel, El nomograma. Teoría y construcción práctica de diagramas de cálculo , 5.ª ed., (Londres: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.) 1963. ( 1.ª edición 1932 )
S. Brodestsky, Un primer curso de nomografía , (Londres, G. Bell and Sons) 1920.
DS Davis, Ecuaciones empíricas y nomografía , (Nueva York: McGraw-Hill Book Co.) 1943.
M. d'Ocagne: Traité de Nomographie , (Gauthier-Villars, París) 1899.
M. d'Ocagne: (1900) Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré . Comptes rendus (París), 131, 522 – 524.
RD Douglass y DP Adams, Elementos de nomografía , (Nueva York: McGraw-Hill) 1947.
RP Hoelscher, et al., Ayudas gráficas en el cálculo de ingeniería , (Nueva York: McGraw-Hill) 1952.
L. Ivan Epstein, Nomografía , (Nueva York: Interscience Publishers) 1958.
LH Johnson, Nomografía y ecuaciones empíricas , (Nueva York: John Wiley and Sons) 1952.
M. Kattan y J. Marasco. (2010) ¿Qué es un nomograma real?, Seminarios en oncología, 37(1), 23 – 26.
AS Levens, Nomografía , 2.ª ed., (Nueva York: John Wiley & Sons, Inc.) 1959.
FT Mavis, La construcción de tablas nomográficas , (Scranton, Libro de texto internacional) 1939.
E. Otto, Nomografía , (Nueva York: The Macmillan Company) 1963.
HA Evesham, Historia y desarrollo de la nomografía , (Boston: Docent Press) 2010. ISBN 9781456479626
TH Gronwall, R. Doerfler, A. Gluchoff y S. Guthery, Calculating Curves: The Mathematics, History, and Aesthetic Appeal of TH Gronwall's Nomographic Work (Boston: Docent Press), 2012. ISBN 9780983700432

Enlaces externos

El arte de la nomografía describe el diseño de nomogramas utilizando geometría, determinantes y transformaciones.
El arte perdido de la nomografía es un artículo de una revista de matemáticas que ofrece un panorama general del campo de la nomografía.
Nomogramas para juegos de guerra , pero también de interés general.
PyNomo : software de código abierto para la construcción de nomogramas.
Applet de Java archivado el 24/09/2009 en la Wayback Machine para la construcción de nomogramas sencillos.
Nomogramas para visualizar relaciones entre tres variables : vídeo y diapositivas de la ponencia invitada de Jonathan Rougier para useR!2011.

[1] Ha, Yun-Sok; Kim, Tae-Hwan (2018), "Capítulo 30 - Vigilancia del cáncer de vejiga músculo-invasivo (MIBC)", en Ku, Ja Hyeon (ed.), Cáncer de vejiga , Academic Press, pp. 553–597 , doi : 10.1016/b978-0-12-809939-1.00030-8 , ISBN 978-0-12-809939-1

[2] Recuerdos de Yu.A.Mozzhorin archivados el 18 de octubre de 2007 en la Wayback Machine del sitio web del archivo estatal ruso de documentación científico-técnica.

[3] Douglas, John; Danciu, Laurentiu (2019-11-08). "Nomograma para ayudar a explicar el peligro sísmico probabilístico" . Journal of Seismology . 24 (1): 221– 228. Bibcode : 2020JSeis..24..221D . doi : 10.1007/s10950-019-09885-4 . hdl : 20.500.11850/379252 . ISSN 1573-157X .

[4] Szalkai, István; Balint, Roland (28 de diciembre de 2017). "Nomogramas para ecuaciones cuadráticas y cúbicas (en húngaro)" (PDF) . Haladvány Kiadvány . 2017 .

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