Hispanopedia WikiEn matemáticas , la geometría no arquimediana [1] es cualquiera de las diversas formas de geometría en las que se niega el axioma de Arquímedes . Un ejemplo de este tipo de geometría es el plano de Dehn . Las geometrías no arquimedianas pueden, como indica el ejemplo, tener propiedades significativamente diferentes de la geometría euclidiana .
Hay dos sentidos en los que se puede utilizar el término, refiriéndose a geometrías sobre campos que violan uno de los dos sentidos de la propiedad de Arquímedes (es decir, con respecto al orden o la magnitud).
Geometría sobre un cuerpo ordenado no arquimediano
El primer sentido del término es la geometría sobre un cuerpo ordenado no arquimediano , o un subconjunto del mismo. El plano de Dehn antes mencionado toma el autoproducto de la porción finita de un cierto cuerpo ordenado no arquimediano basado en el cuerpo de funciones racionales . En esta geometría, hay diferencias significativas con la geometría euclidiana; en particular, hay infinitas paralelas a una línea recta que pasa por un punto (por lo que el postulado de las paralelas falla), pero la suma de los ángulos de un triángulo sigue siendo un ángulo llano. [2]
Intuitivamente, en un espacio así, los puntos de una línea no pueden describirse mediante números reales o un subconjunto de ellos, y existen segmentos de longitud "infinita" o "infinitesimal".
Geometría sobre un cuerpo con valores no arquimedianos
El segundo sentido del término es la geometría métrica sobre un cuerpo de valor no arquimediano [3] o espacio ultramétrico . En un espacio de este tipo, resultan incluso más contradicciones con la geometría euclidiana. Por ejemplo, todos los triángulos son isósceles y las bolas superpuestas se anidan. Un ejemplo de un espacio de este tipo son los números p-ádicos .
Intuitivamente, en un espacio así las distancias no se “suman” ni se “acumulan”.
Referencias
- ^ Robin Hartshorne , Geometría: Euclides y más allá (2000), pág. 158.
- ^ Hilbert, David (1902), Los fundamentos de la geometría (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- ^ Conrad, B. "Varios enfoques de la geometría no arquimediana. En Geometría p-ádica (Conferencias de la Escuela de Invierno de Arizona de 2007). Serie de conferencias de la Universidad AMS". Amer. Math. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.