Fuerza conservadora

En física , una fuerza conservativa es aquella cuya propiedad es que el trabajo total realizado por dicha fuerza al mover una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida. ^{[ 1 ]} De forma equivalente, si una partícula se desplaza en un bucle cerrado, el trabajo total realizado (la suma de la fuerza que actúa a lo largo de la trayectoria multiplicada por el desplazamiento ) por una fuerza conservativa es cero. ^{[ 2 ]}

Una fuerza conservativa depende únicamente de la posición del objeto. Si una fuerza es conservativa, es posible asignarle un valor numérico a su potencial en cualquier punto. A la inversa, cuando un objeto se desplaza de un lugar a otro, la fuerza modifica su energía potencial en una cantidad que no depende de la trayectoria seguida, contribuyendo así a la energía mecánica y a la conservación de la energía en general . Si la fuerza no es conservativa, no es posible definir un potencial escalar , ya que diferentes trayectorias darían lugar a diferencias de potencial contradictorias entre los puntos de inicio y final.

La fuerza gravitatoria es un ejemplo de fuerza conservativa, mientras que la fuerza de fricción es un ejemplo de fuerza no conservativa.

Otros ejemplos de fuerzas conservativas son: la fuerza en un resorte elástico , la fuerza debida a la presión de un líquido sobre una superficie , la fuerza electrostática entre dos cargas eléctricas y la fuerza magnética entre dos polos magnéticos. Las dos últimas fuerzas se denominan fuerzas centrales, ya que actúan a lo largo de la línea que une los centros de dos cuerpos cargados o magnetizados. Una fuerza central es conservativa si y solo si es esféricamente simétrica. ^{[ 3 ]}

Para las fuerzas conservadoras,

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} =-{\frac {\textit {dU}}{d\mathbf {s} }}}$

dónde${\displaystyle F_{c}}$es la fuerza conservadora,${\displaystyle U}$es la energía potencial, y${\displaystyle s}$es la posición. ^{[ 4 ]}

De manera informal, una fuerza conservativa puede definirse como una fuerza que conserva la energía mecánica . Supongamos que una partícula parte del punto A y que una fuerza F actúa sobre ella. Luego, la partícula es desplazada por otras fuerzas y finalmente regresa a A. Aunque la partícula aún se encuentre en movimiento, en el instante en que pasa nuevamente por el punto A, ha recorrido una trayectoria cerrada. Si el trabajo neto realizado por F en este punto es cero, entonces F supera la prueba de la trayectoria cerrada. Cualquier fuerza que supere la prueba de la trayectoria cerrada para todas las trayectorias cerradas posibles se clasifica como una fuerza conservativa.

La fuerza gravitatoria , la fuerza elástica , la fuerza magnética (según algunas definiciones, véase más abajo) y la fuerza eléctrica (al menos en un campo magnético independiente del tiempo, véase la ley de inducción de Faraday para más detalles) son ejemplos de fuerzas conservativas, mientras que la fricción y la resistencia del aire son ejemplos clásicos de fuerzas no conservativas.

En el caso de fuerzas no conservativas, la energía mecánica que se pierde (no se conserva) debe transformarse en otra cosa, según el principio de conservación de la energía . Generalmente, esta energía se convierte en calor , por ejemplo, el calor generado por la fricción. Además de calor, la fricción también suele producir energía sonora . La resistencia del agua sobre una embarcación en movimiento transforma la energía mecánica de la embarcación no solo en calor y energía sonora , sino también en energía de las olas en los bordes de su estela . Estas y otras pérdidas de energía son irreversibles debido a la segunda ley de la termodinámica .

Una consecuencia directa de la prueba de la trayectoria cerrada es que el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera no depende de la trayectoria seguida por la partícula.

Esto se ilustra en la figura de la derecha: El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre un objeto depende únicamente de su cambio de altura, ya que la fuerza gravitatoria es conservativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al negativo del cambio de energía potencial durante dicho proceso. Para demostrarlo, imaginemos dos trayectorias, 1 y 2, ambas desde el punto A al punto B. La variación de energía de la partícula al tomar la trayectoria 1 de A a B y luego la trayectoria 2 en sentido inverso de B a A es cero; por lo tanto, el trabajo es el mismo en las trayectorias 1 y 2, es decir, el trabajo es independiente de la trayectoria seguida, siempre que vaya de A a B.

Por ejemplo, si un niño se desliza por un tobogán sin fricción, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre el niño desde el inicio hasta el final del tobogán es independiente de la forma del tobogán; solo depende del desplazamiento vertical del niño.

Un campo de fuerza F , definido en todo el espacio (o dentro de un volumen de espacio simplemente conexo ), se denomina fuerza conservativa o campo vectorial conservativo si cumple cualquiera de estas tres condiciones equivalentes :

1. El rotacional de F es el vector cero:$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$donde en dos dimensiones esto se reduce a:$${\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0}$$
2. No se realiza trabajo neto ( W ) por la fuerza al mover una partícula a través de una trayectoria que comienza y termina en el mismo lugar:$${\displaystyle W\equiv \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =0.}$$
3. La fuerza se puede escribir como el gradiente negativo de un potencial ,${\displaystyle \Phi }$:$${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .}$$

El término fuerza conservativa proviene del hecho de que, cuando existe una fuerza conservativa, esta conserva la energía mecánica. Las fuerzas conservativas más conocidas son la gravedad , la fuerza eléctrica (en un campo magnético independiente del tiempo, véase la ley de Faraday ) y la fuerza elástica .

Muchas fuerzas (en particular las que dependen de la velocidad) no son campos de fuerza . En estos casos, las tres condiciones anteriores no son matemáticamente equivalentes. Por ejemplo, la fuerza magnética satisface la condición 2 (ya que el trabajo realizado por un campo magnético sobre una partícula cargada es siempre cero), pero no satisface la condición 3, y la condición 1 ni siquiera está definida (la fuerza no es un campo vectorial, por lo que no se puede calcular su rotacional). En consecuencia, algunos autores clasifican la fuerza magnética como conservativa, ^{[ 5 ]} mientras que otros no. ^{[ 6 ]} La fuerza magnética es un caso inusual; la mayoría de las fuerzas dependientes de la velocidad, como la fricción , no satisfacen ninguna de las tres condiciones y, por lo tanto, son inequívocamente no conservativas.

A pesar de la conservación de la energía total, en la física clásica pueden surgir fuerzas no conservativas debido a grados de libertad omitidos o a potenciales dependientes del tiempo. ^{[ 7 ]} Muchas fuerzas no conservativas pueden percibirse como efectos macroscópicos de fuerzas conservativas a pequeña escala. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, la fricción puede tratarse sin violar la conservación de la energía considerando el movimiento de moléculas individuales; sin embargo, esto implica que debe considerarse el movimiento de cada molécula en lugar de manejarlo mediante métodos estadísticos. Para sistemas macroscópicos, la aproximación no conservativa es mucho más fácil de manejar que millones de grados de libertad.

Ejemplos de fuerzas no conservativas son la fricción y la tensión de materiales no elásticos . La fricción tiene el efecto de transferir parte de la energía del movimiento a gran escala de los cuerpos a movimientos a pequeña escala en su interior, y por lo tanto parece no conservativa a gran escala. ^{[ 8 ]} La relatividad general no es conservativa, como se observa en la precesión anómala de la órbita de Mercurio. Sin embargo, la relatividad general sí conserva un pseudotensor de tensión-energía-momento .

• Campo vectorial conservativo
• Sistema conservador