Base de numeración no entera

Una representación no entera utiliza números no enteros como el radio o base de un sistema de numeración posicional . Para un radio no entero β > 1, el valor de

${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$

es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}}$

Los números d _i son enteros no negativos menores que β . Esto también se conoce como β -expansión , un concepto introducido por Rényi (1957) y estudiado en detalle por primera vez por Parry (1960). Todo número real tiene al menos una β -expansión (posiblemente infinita) . El conjunto de todas las β -expansiones que tienen una representación finita es un subconjunto del anillo Z [ β ,  β ⁻¹ ].

Existen aplicaciones de las β -expansiones en la teoría de codificación ^[1] y en modelos de cuasicristales . ^[2]

Las expansiones β son una generalización de las expansiones decimales . Si bien las expansiones decimales infinitas no son únicas (por ejemplo, 1.000... = 0.999... ), todas las expansiones decimales finitas son únicas. Sin embargo, incluso las expansiones β finitas no son necesariamente únicas, por ejemplo φ + 1 = φ ² para β = φ , la proporción áurea . Una elección canónica para la expansión β de un número real dado puede determinarse mediante el siguiente algoritmo voraz , esencialmente debido a Rényi (1957) y formulado como se da aquí por Frougny (1992).

Sea β > 1 la base y x un número real no negativo. Denotemos por ⌊ x ⌋ la función base de x (es decir, el mayor entero menor o igual a x ) y sea { x } = x − ⌊ x ⌋ la parte fraccionaria de x . Existe un entero k tal que β ^k ≤ x < β ^{k +1} .

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

y

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

Para k − 1 ≥   j > −∞ , ponga

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

En otras palabras, la expansión β canónica de x se define eligiendo el d _k más grande tal que β ^k d _k ≤ x , luego eligiendo el d _{k −1} más grande tal que β ^k d _k + β ^{k −1} d _{k −1} ≤ x , y así sucesivamente. Por lo tanto, elige la cadena lexicográficamente más grande que representa a x .

Con una base entera, esto define la expansión de base habitual para el número x . Esta construcción extiende el algoritmo habitual a posibles valores no enteros de β .

Siguiendo los pasos anteriores, podemos crear una expansión β para un número real (los pasos son idénticos para un , aunque primero se debe multiplicar n por${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n<0}$−1 para que sea positivo, entonces el resultado debe multiplicarse por−1 para volverlo negativo nuevamente).

Primero, debemos definir nuestro valor k (el exponente de la potencia de β más cercana mayor que n , así como la cantidad de dígitos en , donde n se escribe en base β ). El valor k para n y β se puede escribir como: ${\displaystyle \lfloor n_{\beta }\rfloor }$${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1}$

Después de encontrar un valor k , se puede escribir como d , donde ${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}$

para k − 1 ≥   j > −∞ . Los primeros k valores de d aparecen a la izquierda del decimal.

Esto también se puede escribir en el siguiente pseudocódigo : ^[3]

función toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precisión = 8 resultado = ""   
	     
	  
	  

	para ( i = k - 1 , i > - precisión - 1 , i -- ) { si ( resultado . length == k ) resultado += "." dígito = floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -= dígito * b ^ i resultado += dígito }          
		      
		
		      
		    
		  
	

	devolver resultado } 

Tenga en cuenta que el código anterior solo es válido para y , ya que no convierte cada dígito a sus símbolos correctos ni a los números negativos correctos. Por ejemplo, si el valor de un dígito es${\displaystyle 1<\beta \leq 10}$${\displaystyle n\geq 0}$10 , se representará como10 en lugar de A.

• JavaScript : ^[3]

  función toBasePI ( num , precisión = 8 ) { sea k = Math.floor ( Math.log ( num ) / Math.log ( Math.PI ) ) + 1 ; si ( k < 0 ) k = 0 ;​​​​​​​         
           
            
  
      deje dígitos = [];   
  
      para ( sea i = k - 1 ; i > ( - 1 * precisión ) - 1 ; i -- ) { sea dígito = Math . floor (( num / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); num -= dígito * Math . pow ( Math . PI , i ); dígitos . push ( dígito );         
                  
               
          
  
          si ( num < 0.1 ** ( precisión + 1 ) && i <= 0 ) break ; }       
              
      
  
      si ( dígitos . longitud > k ) dígitos . splice ( k , 0 , "." );   
            
  
      devolver dígitos .join ( "" ) ; } 
  
  

• JavaScript: ^[3]

  función fromBasePI ( num ) { let numberSplit = num.split ( /\./ g ) ; let numberLength = numberSplit [ 0 ] .length ;  
         
         
  
      deje que la salida sea 0 ; deje que los dígitos sean = numberSplit.join ( "" ) ;   
         
  
      para ( sea i = 0 ; i < dígitos . length ; i ++ ) { salida += dígitos [ i ] * Math . pow ( Math . PI , numberLength - i - 1 ); }         
               
      
  
      devolver salida ; } 
  
  

La base √ 2 se comporta de una manera muy similar a la base 2, ya que todo lo que hay que hacer para convertir un número de binario a base √ 2 es poner un dígito cero entre cada dígito binario; por ejemplo, 1911 ₁₀ = 11101110111 ₂ se convierte en 101010001010100010101 _{√ 2} y 5118 ₁₀ = 1001111111110 ₂ se convierte en 100000101010101010101010100 _{√ 2} . Esto significa que cada número entero se puede expresar en base √ 2 sin la necesidad de un punto decimal. La base también se puede utilizar para mostrar la relación entre el lado de un cuadrado y su diagonal , ya que un cuadrado con una longitud de lado de 1 _{√ 2} tendrá una diagonal de 10 _{√ 2} y un cuadrado con una longitud de lado de 10 _{√ 2} tendrá una diagonal de 100 _{√ 2.} Otro uso de la base es mostrar la proporción de plata , ya que su representación en la base √ 2 es simplemente 11 _{√ 2.} Además, el área de un octágono regular con una longitud de lado de 1 _{√ 2} es 1100 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 10 _{√ 2} es 110000 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 100 _{√ 2} es 11000000 _{√ 2} , etc.

En la base áurea, algunos números tienen más de una base decimal equivalente: son ambiguos . Por ejemplo: 11 _φ = 100 _φ .

Hay algunos números en base ψ que también son ambiguos. Por ejemplo, 101 _ψ = 1000 _ψ .

En base e, el logaritmo natural se comporta como el logaritmo común en base 10, ya que ln(1 _e ) = 0, ln(10 _e ) = 1, ln(100 _e ) = 2 y ln(1000 _e ) = 3 (o más precisamente, la representación en base e de 3, que es, por supuesto, un número no terminal). Esto significa que la parte entera del logaritmo natural de un número en base e cuenta el número de dígitos antes del punto de separación en ese número, menos uno.

La base e es la opción más económica para un radio β > 1, ^[4] donde la economía del radio se mide como el producto del radio por la longitud de la cadena de símbolos necesaria para expresar un rango dado de valores. Un número binario usa solo dos dígitos diferentes, pero necesita muchos dígitos para representar un número; la base 10 escribe números más cortos, pero necesita 10 dígitos diferentes para escribirlos. El equilibrio entre estos dos es la base e , que por lo tanto almacenaría números de manera óptima.

La base π se puede utilizar para mostrar más fácilmente la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia , que corresponde a su perímetro ; como circunferencia = diámetro × π, un círculo con un diámetro 1 _π tendrá una circunferencia de 10 _π , un círculo con un diámetro 10 _π tendrá una circunferencia de 100 _π , etc. Además, como el área = π × radio ² , un círculo con un radio de 1 _π tendrá un área de 10 _π , un círculo con un radio de 10 _π tendrá un área de 1000 _π y un círculo con un radio de 100 _π tendrá un área de 100000 _π . ^[5]

En ningún sistema de numeración posicional se puede expresar cada número de forma única. Por ejemplo, en base diez, el número 1 tiene dos representaciones: 1,000... y 0,999... . El conjunto de números con dos representaciones diferentes es denso en los números reales, ^[6] pero la cuestión de clasificar los números reales con expansiones β únicas es considerablemente más sutil que la de las bases enteras. ^[7]

Otro problema es clasificar los números reales cuyas β -expansiones son periódicas. Sea β > 1, y Q ( β ) la extensión de campo más pequeña de los racionales que contienen a β . Entonces cualquier número real en [0,1) que tenga una β -expansión periódica debe estar en Q ( β ). Por otra parte, la inversa no tiene por qué ser cierta. La inversa sí se cumple si β es un número de Pisot , ^[8] aunque no se conocen las condiciones necesarias y suficientes.

• Codificador beta
• Sistemas de numeración posicional no estándar
• Expansión decimal
• Serie de potencias
• Numeración de Ostrowski

• Sidorov, Nikita (2003), "Dinámica aritmética", en Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y taller estadounidense-ucraniano sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21-30 de agosto de 2000 , Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 310, Cambridge: Cambridge University Press , pp.  145-189 , ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl1051.37007 ​

• Weisstein, Eric W. "Base". MathWorld .