Guía de ondas dieléctrica no radiativa

La guía de ondas dieléctrica no radiativa (NRD) fue introducida por Yoneyama en 1981. ^{[ 1 ]} En la Fig. 1 se muestran las cruces: consiste en una lámina rectangular dieléctrica de altura (a) y ancho (b), que se coloca entre dos placas metálicas paralelas de un ancho adecuado. La estructura es prácticamente la misma que la guía de ondas H, propuesta por Tischer en 1953. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Debido a la lámina dieléctrica, el campo electromagnético se confina en las proximidades de la región dieléctrica, mientras que en la región exterior para frecuencias adecuadas, el campo electromagnético decae exponencialmente . Por lo tanto, si las placas metálicas se extienden lo suficiente, el campo es prácticamente despreciable en el extremo de las placas y, por lo tanto, la situación no difiere mucho del caso ideal en el que las placas se extienden infinitamente. La polarización del campo eléctrico en el modo requerido es principalmente paralela a las paredes conductoras. Como es sabido, si el campo eléctrico es paralelo a las paredes, las pérdidas por conducción disminuyen en las paredes metálicas al aumentar la frecuencia; por el contrario, si el campo es perpendicular a las paredes, las pérdidas aumentan con la frecuencia. Dado que la guía de ondas NRD se diseñó para su implementación en ondas milimétricas , la polarización seleccionada minimiza las pérdidas óhmicas en las paredes metálicas.

La diferencia fundamental entre la guía de ondas H y la guía NRD radica en que, en esta última, la separación entre las placas metálicas es menor a la mitad de la longitud de onda en el vacío , mientras que en la guía de ondas H la separación es mayor. Las pérdidas por conducción en las placas metálicas disminuyen al aumentar la separación. Por lo tanto, esta separación es mayor en la guía de ondas H, utilizada como medio de transmisión para largas distancias; en cambio, la guía de ondas NRD se utiliza en aplicaciones de circuitos integrados de ondas milimétricas , donde las distancias suelen ser muy cortas. En consecuencia, un aumento en las pérdidas no representa un problema grave.

La elección de una pequeña separación entre las placas metálicas tiene como consecuencia fundamental que el modo requerido se encuentre por debajo de la frecuencia de corte en las regiones de aire exterior. De esta forma, cualquier discontinuidad, como una curva o una unión, es puramente reactiva. Esto permite minimizar la radiación y la interferencia (de ahí el nombre de guía no radiativa); este hecho es de vital importancia en las aplicaciones de circuitos integrados. En cambio, en el caso de la guía de ondas en H, las discontinuidades mencionadas anteriormente provocan fenómenos de radiación e interferencia, ya que el modo deseado, al estar por encima de la frecuencia de corte, puede propagarse hacia el exterior. En cualquier caso, es importante tener en cuenta que, si estas discontinuidades modifican la simetría de la estructura con respecto al plano horizontal medio , de todos modos existe radiación en forma de modo TEM en la guía de placas metálicas paralelas y este modo se encuentra por encima de la frecuencia de corte, por muy corta que sea la distancia entre las placas. Este aspecto debe considerarse siempre en el diseño de los diversos componentes y uniones, y al mismo tiempo se debe prestar mucha atención a la adherencia de la lámina dieléctrica a las paredes metálicas porque se generan los fenómenos de pérdidas mencionados anteriormente. ^{[ 4 ]} Esto ocurre cuando, en general, cualquier asimetría en la sección transversal confina el modo en un modo de "fuga".

La relación de dispersión , la ecuación que produce la constante de propagación longitudinal${\displaystyle k_{z}=\beta -j\alpha }$, es una función de la frecuencia y los parámetros geométricos para los distintos modos de la estructura. En este caso, sin embargo, esta relación no puede expresarse explícitamente, como se verifica en el caso más elemental de la guía de ondas rectangular , sino que viene dada implícitamente por una ecuación trascendental .

Para obtener la relación de dispersión, es posible proceder de dos maneras diferentes. La primera, que es más sencilla desde el punto de vista analítico, consiste en aplicar el método de resonancia transversal ^{[ 4 ]} para obtener una red transversal equivalente. Según este método, se aplicará la condición de resonancia en una dirección transversal . Esta condición conduce a una ecuación trascendental que, resuelta numéricamente, proporciona posibles valores para los números de onda transversales . Aprovechando la conocida relación de separabilidad que vincula los números de onda en las distintas direcciones y la frecuencia, es posible obtener los valores de la constante de propagación longitudinal k _z para los distintos modos.

Se supone que las pérdidas por radiación, debido a que las placas metálicas tienen un ancho finito, son despreciables. De hecho, suponiendo que el campo evanescente en las regiones de aire exteriores es despreciable en la apertura , se puede asumir que la situación coincide sustancialmente con el caso ideal de placas metálicas de ancho infinito. Por lo tanto, se puede asumir la red transversal equivalente mostrada en la Fig. 2. En ella, k _xε y k _x0 son los números de onda en la dirección transversal x, en el dieléctrico y en el aire, respectivamente; Y _ε y Y ₀ son las admitancias características asociadas de la línea de transmisión equivalente . La presencia de las placas metálicas, consideradas perfectamente conductoras, impone los posibles valores para el número de onda en la dirección vertical y:${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{a}}}$, con m = 0, 1, 2, ... Estos valores son los mismos en el aire que en las regiones dieléctricas. Como se mencionó anteriormente, los números de onda deben satisfacer las relaciones de separabilidad. En la región del aire, asimilada a un vacío, se obtiene

${\displaystyle k_{o}^{2}=\left({\frac {2\pi }{\lambda _{o}}}\right)^{2}=k_{xo}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=-\left|k_{xo}\right|^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ (1)}$

siendo k _o y λ _o el número de onda y la longitud de onda en el vacío, respectivamente. Se supone que k _z  =  β, porque la estructura no es radiante y no tiene pérdidas, y además k _xo =  –  j  |  k _xo  |  , porque el campo tiene que ser evanescente en las regiones de aire. En la región dieléctrica, en cambio, es

${\displaystyle k^{2}=k_{o}^{2}\varepsilon _ {r}=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ \ \ (2)}$

donde k y λ son el número de onda y la longitud de onda, respectivamente, en la región dieléctrica y${\displaystyle \varepsilon _{r}}$es la constante dieléctrica relativa .

Es improbable que k _xo , k _xε sea real, lo que corresponde a una configuración de ondas estacionarias dentro de la región dieléctrica. Los números de onda k _y y k _z son iguales en todas las regiones. Este hecho se debe a las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético en la interfaz. Como consecuencia, se obtiene la continuidad de la tensión y la corriente en la línea de transmisión equivalente. Por lo tanto, el método de resonancia transversal considera automáticamente las condiciones de contorno en las paredes metálicas y las condiciones de continuidad en la interfaz aire-dieléctrico.

Analizando los posibles modos transversales, en las regiones del aire (siendo${\displaystyle a<{\frac {\lambda _ {o}}{2}}}$) solo el modo con m=0 puede propagarse a lo largo de x; este modo es un modo TEM que viaja oblicuamente en el plano xz, con componentes de campo no nulas E _y , H _x , H _z . Este modo siempre resulta por encima del corte, sin importar cuán pequeño sea a , pero no se excita si se conserva la simetría de la estructura con respecto al plano medio y = a/2. De hecho, en estructuras simétricas, los modos con polarizaciones diferentes a la del campo excitador no se excitan. En la región dieléctrica, en cambio, se tiene ${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{o}}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}}}$ El modo con índice m está por encima del límite de corte si a/λ > m/2. Por ejemplo, si ε _r = 2,56 ( poliestireno ), f = 50  GHz y a = 2,7  mm, entonces a/λo = 0,45 y a/λ = 0,72. Por lo tanto, en la región dieléctrica, los modos con m=1 están por encima del límite de corte, mientras que los modos con m=2 están por debajo del límite de corte (1/2 < 0,72 < 1).

En la guía NRD, al igual que en la guía H, debido a la presencia de la tira dieléctrica, las condiciones de contorno no pueden ser satisfechas por los modos TEM, TM o (m≠0) TE con respecto a la dirección longitudinal z. Por lo tanto, los modos de la estructura serán híbridos, es decir, con ambas componentes del campo longitudinal distintas de cero. Afortunadamente, el modo deseado es un modo TM con respecto a la dirección horizontal x, a lo largo de la cual se ha adoptado la línea de transmisión equivalente. Por lo tanto, de acuerdo con las expresiones conocidas de las admitancias características de los modos TM, es

${\displaystyle Y_ {o}={\frac {\omega \varepsilon _ {o}}{k_ {xo}}}\ \ \ \ Y_ {\varepsilon }={\frac {\omega \varepsilon _ {o}\varepsilon _ {r}}{k_ {x\varepsilon }}}\ \ \ \ \ (3)}$

dónde

${\displaystyle k_{xo}=-j\left|k_{xo}\right|}$

La red transversal equivalente de la figura 2 se simplifica aún más utilizando la simetría geométrica de la estructura con respecto al plano medio x=0 y considerando la polarización del campo eléctrico para el modo requerido, que es un vector ortogonal al plano medio. En este caso, es posible dividir la estructura por la mitad con un plano metálico vertical sin modificar las condiciones de contorno y, por lo tanto, la configuración interna del campo electromagnético. Esto corresponde a una bisección por cortocircuito en la línea de transmisión equivalente, como se muestra en la red simplificada de la figura 3.

Entonces es posible aplicar la condición de resonancia transversal a lo largo de la dirección horizontal x expresada por la relación:

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}+{\overrightarrow {Y}}=0\ \ \ \ \ \ }$

dónde

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}\ \ \ y\ \ \ {\overrightarrow {Y}}\ \ }$

son las admisiones mirando hacia la izquierda y hacia la derecha respectivamente, con referencia a una sección arbitraria T.

Seleccionando la sección de referencia como se muestra en la Fig. 3,${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_ {o}}$, porque la línea es infinita hacia la derecha. Mirando hacia la izquierda es

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}=-jY_{\varepsilon }cot(k_{x\varepsilon }w)}$

Luego, introducimos la expresión de las admitancias características en la condición de resonancia:

${\displaystyle -jY_{\varepsilon }cot(k_{x\varepsilon }w)+Y_{o}=0}$

Se deriva la ecuación de dispersión:

${\displaystyle -j\varepsilon _{r}k_{xo}cot(k_{x\varepsilon }w)+k_{x\varepsilon }=0\ \ \ \ (4)}$

Además, de (1) y (2) se obtiene

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}}-({\frac {m\pi }{a}})^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}}$

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}\varepsilon _{r}}-({\frac {m\pi }{a}})^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}}$

Por lo tanto, se puede asumir que la incógnita normalizada${\displaystyle {\frac {\beta }{k_{o}}}={\sqrt {\varepsilon _{eff}}}}$, dónde${\displaystyle \varepsilon _ {eff}}$ es la denominada constante dieléctrica relativa efectiva de la guía.

La frecuencia de corte f _c se obtiene resolviendo la ecuación de dispersión para β =0.

Es importante tener en cuenta que, debido a la presencia de dos dieléctricos, la solución depende de la frecuencia, es decir, el valor de β para cualquier frecuencia no se puede obtener simplemente a partir de la frecuencia de corte, como ocurriría para un solo dieléctrico, para el cual:${\displaystyle \beta ={\sqrt {k^{2}-k_{t}^{2}}}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \varepsilon -\omega _{c}^{2}\mu \varepsilon }}}$ En nuestro caso, en cambio, es necesario resolver la ecuación de dispersión para cada valor de frecuencia. De manera dual, se pueden considerar los modos TE con respecto a x. Las expresiones para las admitancias características son en este caso (μ=μ _o ):

${\displaystyle Y_{o}={\frac {k_{xo}}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ ,\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {k_{x\varepsilon }}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ \ \ \ \ (5)}$

Además, en este caso el campo magnético es ortogonal al plano medio x=0. Por lo tanto, es posible bisecar la estructura con una pared magnética perfecta, lo que corresponde a una bisección con un circuito abierto, obteniendo el circuito que se muestra en la Fig. 4. Entonces, con respecto al plano T, será:${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ ,\ \ \ {\overleftarrow {Y}}=jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)}$, de la cual se obtiene la ecuación de dispersión :

${\displaystyle jk_{x\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)+k_{xo}=0\ \ \ (6)}$

Obviamente, los resultados, aquí obtenidos para el comportamiento dispersivo, podrían obtenerse a partir de la red transversal equivalente completa, sin bisecciones, mostrada en la Fig. 2. En este caso, con referencia al plano T, se obtiene

${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}=Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}}$

y luego

${\displaystyle Y_{o}+Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)}$

Esto depende de si se consideran los modos TM o TE con referencia a la dirección x, de modo que se pueden utilizar las ecuaciones (3) o (5) para las admitancias características relevantes.

Luego, como se mostró anteriormente, el método de resonancia transversal nos permite obtener fácilmente la ecuación de dispersión para la guía de ondas NRD.

Sin embargo, la configuración del campo electromagnético en las tres regiones no se ha analizado en detalle. Se puede obtener información adicional mediante el método de expansión modal.

En referencia a la sección transversal de la guía mostrada en la Fig. 1, los campos TM y TE pueden considerarse con respecto a la dirección longitudinal z, a lo largo de la cual la guía es uniforme. Como ya se mencionó, en la guía de ondas NRD no pueden existir modos TM o TE (m≠0) con respecto a la dirección z, ya que no satisfacen las condiciones impuestas por la presencia de la lámina dieléctrica. Sin embargo, se sabe que un modo de propagación dentro de una estructura de guía puede expresarse como una superposición de un campo TM y un campo TE con respecto a z.

Además, el campo TM puede derivarse de un potencial vectorial de Lorentz puramente longitudinal.${\displaystyle {\underline {A}}}$El campo electromagnético se puede deducir entonces a partir de las fórmulas generales:

${\displaystyle {\underline {H}}=\triangledown \times {\underline {A}}\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {E}}=-j\omega \mu {\underline {A}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {A}}}{j\omega \varepsilon }}\ \ \ \ \ \ (8)}$

De manera dual, el campo TE puede derivarse de un potencial vectorial puramente longitudinal.${\displaystyle {\underline {F}}}$El campo electromagnético se expresa mediante:

${\displaystyle {\underline {E}}=-\triangledown \times {\underline {F}}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {H}}=-j\omega {\underline {F}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {F}}}{j\omega \mu }}\ \ \ \ \ \ \ (9)}$

Debido a la simetría cilíndrica de la estructura a lo largo del eje z, se puede suponer:

${\displaystyle {\underline {A}}=A_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ \ (10)}$

${\displaystyle {\underline {F}}=F_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ (11)}$

Como es sabido, en una región sin fuente, el potencial debe satisfacer la ecuación de onda electromagnética de Helmholtz homogénea :

${\displaystyle \triangledown ^{2}A_{z}+k^{2}A_{z}=0\ \ \ \ \ \ (12)}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}F_{z}+k^{2}F_{z}=0\ \ \ \ \ \ (13)}$

De las ecuaciones (10)-(13) se obtiene:

${\displaystyle {\frac {d^{2}L}{dz^{2}}}+k_{z}^{2}L=0\ \ \ \ \ \ (14)}$

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}T+k_{t}^{2}T=0\ \ \ \ \ \ (15)}$

donde k _z es el número de onda en la dirección longitudinal,

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}=\triangledown ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\ \ \ and\ \ \ k_{t}^{2}=k^{2}-k_{z}^{2}}$ .

Para el caso k _z ≠ 0, la solución general de la ecuación (14) viene dada por:

${\displaystyle L(z)=L_{o}^{\dotplus }e^{-jk_{z}z}+L_{o}^{-}e^{jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (16)}$

A continuación, supongamos que solo está presente la onda viajera directa (L _o ⁻ = 0). Los números de onda k _y y k _z deben ser iguales en las regiones dieléctrica y en el aire para satisfacer la condición de continuidad de las componentes del campo tangencial. Además, k _z debe ser igual tanto en el campo TM como en el campo TE.

La ecuación (15) se puede resolver mediante separación de variables . Al hacer${\displaystyle T(x,y)=X(x)Y(y)}$, uno obtiene

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+k_{x}^{2}X=0\ \ \ \ \ \ \ (17)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+k_{y}^{2}Y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (18)}$

dónde ${\displaystyle Y(y)=C_{1}\cos(k_{y}y)+C_{2}sin(k_{y}y)}$

Para el campo TM, la solución de la ecuación (18), teniendo en cuenta las condiciones de contorno en y = 0 e y = a, viene dada por:

${\displaystyle sin({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

Para el campo TE, se obtiene de forma análoga:

${\displaystyle cos({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

En lo que respecta a la ecuación (17), se elige la siguiente forma para la solución general:

${\displaystyle X(x)=C_{3}e^{-jk_{x}x}+C_{4}e^{jk_{x}x}}$

Por lo tanto, para las distintas regiones supongamos que:

Región dieléctrica (-w < x < w)

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TM}=sin({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ m=0,1,2,...\ \ \ \ \ \ (19)}$

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TE}=cos({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ \ m=1,2,3,...\ \ \ \ (20)}$

dónde

${\displaystyle k_{x\varepsilon }=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ (21)}$

Región de aire a la derecha (x > w)

${\displaystyle T_{o+}^{TM}=Esin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ (22)}$

${\displaystyle T_{o+}^{TE}=Fcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)}$

Región de aire a la izquierda (x < w)

${\displaystyle T_{o-}^{TM}=Gsin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x+w)}\ \ \ \ \ \ \ (24)}$

${\displaystyle T_{o-}^{TE}=Hcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ (25)}$

En las regiones aéreas se obtiene

${\displaystyle k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)}$

Las ocho constantes A, B, C, D, E, F, G, H se determinarán imponiendo las ocho condiciones de continuidad para las componentes tangenciales E _y , E _z , H _y , H _z del campo electromagnético en x  =  w y en x  =  –  w.

Los distintos componentes del campo vienen dados por:

${\displaystyle E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)}$

${\displaystyle H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)}$

${\displaystyle H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)}$

Imponiendo las condiciones de continuidad en cada interfaz, es

${\displaystyle -{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}}$

donde los primeros miembros se refieren a las regiones de aire y los segundos miembros a la región dieléctrica.

Introduciendo las ecuaciones (19), (20) y (22)-(25) en las cuatro condiciones de continuidad en x = w, las constantes E y F se pueden expresar en términos de A, B, C, D, que están vinculadas por dos relaciones.

De forma similar, en la interfaz x = -w, las constantes G y H pueden expresarse en términos de A, B, C, D. Entonces, las expresiones de las componentes del campo electromagnético se convierten en:

Región dieléctrica (-w < x < w)

${\displaystyle E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)}$

${\displaystyle E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)}$

${\displaystyle H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)}$

${\displaystyle H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)}$

Región de aire a la derecha (x > w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{x0}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)}$

Región de aire a la izquierda (x < -w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)}$

Estas expresiones no se obtienen directamente mediante el método de resonancia transversal.

Finalmente, a partir de las condiciones de continuidad restantes, se obtiene un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas A, B, C y D. Se hallan soluciones no triviales al imponer que el determinante de los coeficientes sea cero. De esta forma, utilizando las ecuaciones (21) y (26), se obtiene la ecuación de dispersión, que proporciona el posible valor de la constante de propagación longitudinal k _z para los distintos modos.

Entonces, se pueden encontrar las incógnitas A, B, C, D, salvo un factor arbitrario.

Para obtener las frecuencias de corte de los distintos modos, basta con establecer k _z = 0 en el determinante y resolver la ecuación, ahora muy simplificada, con respecto a la frecuencia. No se produce una simplificación similar al utilizar el método de resonancia transversal, ya que k _z aparece solo implícitamente; por lo tanto, las ecuaciones que deben resolverse para obtener las frecuencias de corte son formalmente las mismas.

Se puede obtener un análisis más sencillo, expandiendo nuevamente el campo como una superposición de modos, teniendo en cuenta la orientación del campo eléctrico para el modo requerido y dividiendo la estructura por la mitad con una pared perfectamente conductora, como se ha hecho en la Fig. 3. En este caso, solo hay dos regiones, solo seis incógnitas que deben determinarse y las condiciones de continuidad también son seis (continuidad de E _y , E _z , H _y , H _z para x = w y la anulación de E _y , E _z para x=0).

Finalmente, es importante destacar que la ecuación de dispersión resultante es factorizable en el producto de dos expresiones que coinciden con la ecuación de dispersión para los modos TE y TM con respecto a la dirección x, respectivamente. Por lo tanto, todas las soluciones pertenecen a estas dos clases de modos.