Teorema de no compresión

El teorema de no compresión , también llamado teorema de no compresión de Gromov , es uno de los teoremas más importantes en geometría simpléctica . ^{[ 1 ]} Fue demostrado por primera vez en 1985 por Mikhail Gromov . ^{[ 2 ]} El teorema establece que no se puede incrustar una bola en un cilindro mediante una transformación simpléctica a menos que el radio de la bola sea menor o igual que el radio del cilindro. El teorema es importante porque anteriormente se sabía muy poco sobre la geometría detrás de las transformaciones simplécticas. Una consecuencia sencilla de que una transformación sea simpléctica es que conserva el volumen . ^{[ 3 ]} Se puede incrustar fácilmente una bola de cualquier radio en un cilindro de cualquier otro radio mediante una transformación que conserve el volumen : basta con imaginar que se comprime la bola en el cilindro (de ahí el nombre de teorema de no compresión). Por lo tanto, el teorema de no compresión nos dice que, aunque las transformaciones simplécticas conservan el volumen, es mucho más restrictivo que una transformación sea simpléctica a que conserve el volumen.

Consideremos los espacios simplécticos

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

${\displaystyle B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},}$

${\displaystyle Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<R^{2}\},}$

cada uno dotado de la forma simpléctica

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

El espacio${\displaystyle B^{2n}(r)}$se llama la bola de radio${\displaystyle r}$y${\displaystyle Z^{2n}(R)}$se llama cilindro de radio${\displaystyle R}$. La elección de los ejes del cilindro no es arbitraria dada la forma simpléctica fija anterior; cada uno de los círculos del cilindro se encuentra en un subespacio simpléctico de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

Si${\displaystyle (M,\eta )}$y${\displaystyle (N,\nu )}$son variedades simplécticas, una incrustación simpléctica${\displaystyle \varphi$ :(M,\eta )\to (N,\nu )} es una incrustación suave${\displaystyle \varphi :M\to N}$de tal manera que${\displaystyle \varphi ^{*}\nu =\eta }$. Para${\displaystyle r\leq R}$, hay una incrustación simpléctica${\displaystyle B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$que toma${\displaystyle x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$hasta el mismo punto${\displaystyle x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$.

El teorema de no compresión de Gromov dice que si hay una incrustación simpléctica${\displaystyle \varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$, entonces${\displaystyle r\leq R}$. ^{[ 3 ]}

Una capacidad simpléctica es un mapa${\displaystyle c:\{{\text{symplectic manifolds}}\}\to [0,\infty ]}$satisfactorio

1. (Monotonicidad) Si hay una incrustación simpléctica${\displaystyle (M,\omega )\to (N,\eta )}$y${\displaystyle \dim M=\dim N}$, entonces${\displaystyle c(M,\omega )\leq c(N,\eta )}$,
2. (Conformidad)${\displaystyle c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )}$,
3. (No trivialidad)${\displaystyle c(B^{2n}(1))>0}$y${\displaystyle c(Z^{2n}(1))<\infty }$. ^{[ 3 ]}

La existencia de una capacidad simpléctica que satisface

${\displaystyle c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi }$

es equivalente al teorema de no compresión de Gromov. Dada dicha capacidad, se puede verificar el teorema de no compresión, y dado el teorema de no compresión, el ancho de Gromov

${\displaystyle w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}}$

es tal capacidad. ^{[ 3 ]}

El teorema de no compresión de Gromov también se conoce como el principio del camello simpléctico desde que Ian Stewart se refirió a él aludiendo a la parábola del camello y el ojo de una aguja . ^{[ 4 ]} Como afirma Maurice A. de Gosson :

Ahora bien, ¿por qué nos referimos a un camello simpléctico en el título de este artículo? Esto se debe a que el teorema de Gromov se puede reformular de la siguiente manera: no hay forma de deformar una bola del espacio de fases mediante transformaciones canónicas de tal manera que podamos hacerla pasar a través de un agujero en un plano de coordenadas conjugadas.${\displaystyle x_{j}}$ ,${\displaystyle p_{j}}$si el área de ese agujero es menor que la de la sección transversal de esa bola.

Similarmente:

Intuitivamente, un volumen en el espacio de fases no puede estirarse con respecto a un plano simpléctico particular más allá de su "anchura simpléctica". En otras palabras, es imposible comprimir un camello simpléctico en el ojo de una aguja, si esta es lo suficientemente pequeña. Este es un resultado muy poderoso, íntimamente ligado a la naturaleza hamiltoniana del sistema, y ​​completamente distinto del teorema de Liouville , que solo considera el volumen total y no impone ninguna restricción a la forma .

Aunque el término "camello simpléctico" se usa a veces de forma imprecisa para describir el teorema de no compresión de Gromov en su forma estática, los expertos en topología simpléctica lo reservan para la versión paramétrica, que trata sobre la imposibilidad de mover una bola simpléctica de un lado de un hiperplano H al otro a través de una familia uniparamétrica de incrustaciones simplécticas, de tal manera que las reducciones simplécticas de las intersecciones de las bolas con el hiperplano H estén siempre contenidas en un cilindro de menor capacidad. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

De Gosson ha demostrado que el teorema de no compresión está estrechamente vinculado a la desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg , una generalización de la relación de incertidumbre de Heisenberg . La desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg establece que:

${\displaystyle \operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

donde Q y P son las coordenadas canónicas y var y cov son las funciones de varianza y covarianza. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

• De Gosson, Maurice A. (2012). "El huevo simpléctico". arXiv : 1208.5969 [ math-ph ].– Incluye una demostración de una variante del teorema para el caso de transformaciones canónicas lineales.
• Dusa McDuff : ¿Qué es la geometría simpléctica?, 2009