Juego de suma cero

La matriz de pagos de un juego es una representación práctica. Consideremos como ejemplo el juego de suma cero para dos jugadores que se muestra a la derecha o arriba.

El orden de juego se desarrolla de la siguiente manera: El primer jugador (rojo) elige en secreto una de las dos acciones, 1 o 2; el segundo jugador (azul), sin saber la elección del primero, elige en secreto una de las tres acciones, A, B o C. A continuación, se revelan las elecciones y la puntuación total de cada jugador se ve afectada según la recompensa obtenida con dichas elecciones.

Ejemplo: Rojo elige la acción 2 y Azul elige la acción B. Cuando se reparten las ganancias, Rojo gana 20 puntos y Azul pierde 20 puntos.

En este ejemplo de juego, ambos jugadores conocen la matriz de pagos e intentan maximizar sus puntos. Rojo podría razonar así: "Con la acción 2, podría perder hasta 20 puntos y ganar solo 20, y con la acción 1 puedo perder solo 10 pero ganar hasta 30, así que la acción 1 parece mucho mejor". Con un razonamiento similar, Azul elegiría la acción C. Si ambos jugadores realizan estas acciones, Rojo ganará 20 puntos. Si Azul anticipa el razonamiento de Rojo y su elección de la acción 1, Azul podría elegir la acción B para ganar 10 puntos. Si Rojo, a su vez, anticipa esta jugada y elige la acción 2, esto le otorga 20 puntos.

Émile Borel y John von Neumann tuvieron la intuición fundamental de que la probabilidad ofrece una solución a este dilema. En lugar de decidir una acción concreta, los dos jugadores asignan probabilidades a sus respectivas acciones y, a continuación, utilizan un dispositivo aleatorio que, según estas probabilidades, elige una acción por ellos. Cada jugador calcula las probabilidades para minimizar la máxima pérdida de puntos esperada , independientemente de la estrategia del oponente. Esto da lugar a un problema de programación lineal con las estrategias óptimas para cada jugador. Este método minimax puede calcular estrategias probablemente óptimas para todos los juegos de suma cero de dos jugadores.

Para el ejemplo dado anteriormente, resulta que Rojo debería elegir la acción 1 con probabilidad 4/7 y la acción 2 con probabilidad 3/7 , y Azul debería asignar las probabilidades 0, 4/7 y 3/7 a las tres acciones A , B y C. Rojo ganará entonces 20/7 puntos en promedio por juego .

El equilibrio de Nash para un juego de suma cero de dos jugadores se puede encontrar resolviendo un problema de programación lineal . Supongamos que un juego de suma cero tiene una matriz de pagos M donde el elemento M _{i , j} es el pago obtenido cuando el jugador que minimiza elige la estrategia pura i y el jugador que maximiza elige la estrategia pura j (es decir, el jugador que intenta minimizar el pago elige la fila y el jugador que intenta maximizar el pago elige la columna). Supongamos que cada elemento de M es positivo. El juego tendrá al menos un equilibrio de Nash. El equilibrio de Nash se puede encontrar (Raghavan 1994, p.  740) resolviendo el siguiente programa lineal para encontrar un vector u :

La primera restricción establece que cada elemento del vector u debe ser no negativo, y la segunda, que cada elemento del vector M u debe ser al menos 1. Para el vector u resultante , el inverso de la suma de sus elementos es el valor del juego. Al multiplicar u por ese valor, se obtiene un vector de probabilidad que indica la probabilidad de que el jugador que busca maximizar su valor elija cada estrategia pura posible.

Si la matriz del juego no tiene todos sus elementos positivos, se suma una constante a cada elemento lo suficientemente grande como para que todos sean positivos. Esto incrementará el valor del juego en esa constante y no afectará las estrategias mixtas de equilibrio.

La estrategia mixta de equilibrio para el jugador que minimiza puede hallarse resolviendo el dual del programa lineal dado. Alternativamente, puede hallarse utilizando el procedimiento anterior para resolver una matriz de pagos modificada, que es la transpuesta y la negación de M (sumando una constante para que sea positiva), y luego resolviendo el juego resultante.

Si se encuentran todas las soluciones del programa lineal, estas constituirán todos los equilibrios de Nash del juego. Por el contrario, cualquier programa lineal puede convertirse en un juego de suma cero para dos jugadores mediante un cambio de variables que lo expresa en la forma de las ecuaciones anteriores; por lo tanto, dichos juegos son, en general, equivalentes a programas lineales. ^{[ 13 ]}

Si evitar un juego de suma cero es una elección de acción con cierta probabilidad para los jugadores, evitarlo siempre es una estrategia de equilibrio para al menos un jugador en un juego de suma cero. Para cualquier juego de suma cero de dos jugadores donde un empate cero-cero es imposible o no creíble después de que comienza el juego, como el póker, no existe otra estrategia de equilibrio de Nash que no sea evitar el juego. Incluso si hay un empate cero-cero creíble después de que comienza un juego de suma cero, no es mejor que la estrategia de evitarlo. En este sentido, es interesante encontrar que la recompensa a medida que avanza en el cálculo de elección óptima prevalecerá sobre todos los juegos de suma cero de dos jugadores con respecto a comenzar o no el juego. ^{[ 14 ]}

El ejemplo más común o sencillo dentro del subcampo de la psicología social es el concepto de " trampas sociales ". En algunos casos, la búsqueda del interés personal individual puede mejorar el bienestar colectivo del grupo, pero en otras situaciones, la búsqueda del interés personal por parte de todos los implicados da lugar a comportamientos mutuamente destructivos.

La revisión de Copeland señala que un juego de suma no nula con n jugadores puede convertirse en un juego de suma cero con (n+1) jugadores, donde el jugador n+1, denominado jugador ficticio , recibe el negativo de la suma de las ganancias de los otros n jugadores (la ganancia/pérdida global). ^{[ 15 ]}

Es claro que existen múltiples relaciones entre los jugadores en un juego de suma cero de tres personas, en un juego de suma cero de dos personas, todo lo que un jugador gana es necesariamente perdido por el otro y viceversa; por lo tanto, siempre hay un antagonismo absoluto de intereses, y esto es similar en el juego de tres personas. ^{[ 16 ]} Se asumiría que un movimiento particular de un jugador en un juego de suma cero de tres personas es claramente beneficioso para él y puede ser perjudicial para ambos jugadores, o beneficioso para uno y perjudicial para el otro oponente. ^{[ 16 ]} En particular, el paralelismo de intereses entre dos jugadores hace deseable la cooperación; puede suceder que un jugador tenga la opción de elegir entre varias políticas: establecer un interés paralelo con otro jugador ajustando su conducta, o lo contrario; que puede elegir con cuál de los otros dos jugadores prefiere construir dicho paralelismo, y en qué medida. ^{[ 16 ]} La imagen de la izquierda muestra un ejemplo típico de un juego de suma cero de tres personas. Si el jugador 1 decide defender, pero los jugadores 2 y 3 deciden atacar, ambos ganarán un punto. Al mismo tiempo, el jugador 1 perderá dos puntos porque otros jugadores les quitan puntos, y es evidente que los intereses de los jugadores 2 y 3 son similares.

El comercio de derivados puede considerarse un juego de suma cero, ya que cada dólar ganado por una parte en una transacción debe ser perdido por la otra, lo que resulta en una transferencia neta de riqueza de cero. ^{[ 18 ]}

Un contrato de opciones —mediante el cual un comprador adquiere un contrato derivado que le otorga el derecho a comprar un activo subyacente a un vendedor a un precio de ejercicio específico antes de una fecha de vencimiento determinada— es un ejemplo de juego de suma cero. Un contrato de futuros —mediante el cual un comprador adquiere un contrato derivado para comprar un activo subyacente al vendedor a un precio específico en una fecha determinada— también es un ejemplo de juego de suma cero. ^{[ 19 ]} Esto se debe a que el principio fundamental de estos contratos es que son acuerdos entre dos partes, y cualquier ganancia obtenida por una de ellas debe ser compensada por una pérdida sufrida por la otra.

Si el precio del activo subyacente aumenta antes de la fecha de vencimiento, el comprador puede ejercer o cerrar el contrato de opciones o futuros. La ganancia del comprador y la pérdida correspondiente del vendedor serán la diferencia entre el precio de ejercicio y el valor del activo subyacente en ese momento. Por lo tanto, la transferencia neta de riqueza es cero.

Los swaps , que implican el intercambio de flujos de efectivo de dos instrumentos financieros diferentes, también se consideran un juego de suma cero. ^{[ 20 ]} Consideremos un swap de tipos de interés estándar en el que la empresa A paga un tipo fijo y recibe un tipo variable; de ​​forma análoga, la empresa B paga un tipo variable y recibe un tipo fijo. Si los tipos aumentan, la empresa A ganará y la empresa B perderá por la diferencia de tipos (tipo variable - tipo fijo). Si los tipos disminuyen, la empresa A perderá y la empresa B ganará por la diferencia de tipos (tipo fijo - tipo variable).

Si bien la negociación de derivados puede considerarse un juego de suma cero, es importante recordar que esto no es una verdad absoluta. Los mercados financieros son complejos y multifacéticos, con una amplia gama de participantes que realizan diversas actividades. Aunque algunas operaciones pueden resultar en una simple transferencia de riqueza de una parte a otra, el mercado en su conjunto no es puramente competitivo, y muchas transacciones cumplen funciones económicas importantes.

El mercado de valores es un excelente ejemplo de un juego de suma positiva , a menudo etiquetado erróneamente como un juego de suma cero. Esta es una falacia de suma cero: la percepción de que un inversor en el mercado de valores solo puede aumentar el valor de sus participaciones si otro inversor disminuye las suyas. ^{[ 21 ]}

El objetivo principal del mercado de valores es conectar a compradores y vendedores, pero el precio vigente es el que equilibra la oferta y la demanda. Los precios de las acciones generalmente se mueven según los cambios en las expectativas futuras, como anuncios de adquisiciones, resultados superiores a lo esperado o previsiones mejoradas. ^{[ 22 ]}

Por ejemplo, si la empresa C anuncia la adquisición de la empresa D, y los inversores creen que dicha adquisición generará sinergias y, por ende, una mayor rentabilidad para la empresa C, aumentará la demanda de sus acciones. En este caso, todos los accionistas actuales de la empresa C obtendrán ganancias sin que los demás inversores sufran pérdidas cuantificables.

Además, a largo plazo, el mercado de valores es un juego de suma positiva. A medida que crece la economía, aumenta la demanda, se incrementa la producción, las empresas crecen y su valoración aumenta, lo que genera valor y riqueza en el mercado.

Robert Wright, en su libro Nonzero: The Logic of Human Destiny , teoriza que la sociedad se vuelve cada vez más un juego de suma no cero a medida que se vuelve más compleja, especializada e interdependiente.

En 1944, John von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que cualquier juego de suma no nula para n jugadores es equivalente a un juego de suma cero con n  +  1 jugadores; el jugador ( n  +  1) representa el negativo de la ganancia total entre los primeros n jugadores. ^{[ 23 ]}

Arrow y Hurwicz ^{[ 24 ]} estudiaron juegos de suma cero para dos jugadores en los que la función de pago puede ser no lineal (como en un juego cóncavo ). Presentaron métodos de gradiente para calcular el valor de dichos juegos.