Átomo (teoría de la medida)

En matemáticas , más precisamente en la teoría de la medida , un átomo es un conjunto mensurable que tiene medida positiva y no contiene ningún conjunto de medidas positivas menores. Una medida que no tiene átomos se denomina no atómica o sin átomos .

Dado un espacio medible${\displaystyle (X,\Sigma )}$y una medida${\displaystyle \mu }$en ese espacio, un conjunto${\displaystyle A\subset X}$en${\displaystyle \Sigma }$se llama átomo si $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ y para cualquier subconjunto medible${\displaystyle B\subsetae}$, cualquiera${\displaystyle \mu (B)=0}$o${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$. ^{[ 1 ]}

La clase de equivalencia de${\displaystyle A}$se define por $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma$$ :\mu (A\Delta B)=0\},} donde${\displaystyle \Delta }$es el operador de diferencia simétrica . Si${\displaystyle A}$es un átomo entonces todos los subconjuntos en${\displaystyle [A]}$son átomos y${\displaystyle [A]}$se denomina clase atómica . ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle \mu }$es un${\displaystyle \sigma }$-medida finita, hay una cantidad numerable de clases atómicas.

• Consideremos el conjunto X = {1, 2, ..., 9, 10} y sea el álgebra sigma${\displaystyle \Sigma }$Sea el conjunto potencia de X. Defina la medida.${\displaystyle \mu }$de un conjunto a su cardinalidad , es decir, el número de elementos en el conjunto. Entonces, cada uno de los singletons { i }, para i = 1, 2, ..., 9, 10 es un átomo.
• Consideremos la medida de Lebesgue en la recta real . Esta medida no tiene átomos.

A${\displaystyle \sigma }$-medida finita${\displaystyle \mu }$en un espacio mensurable${\displaystyle (X,\Sigma )}$Se denomina atómico o puramente atómico si todo conjunto medible de medida positiva contiene un átomo. Esto es equivalente a decir que existe una partición contable de${\displaystyle X}$formado por átomos hasta un conjunto nulo. ^{[ 3 ]} La suposición de${\displaystyle \sigma }$-La finitud es esencial. Consideremos de otro modo el espacio${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$dónde${\displaystyle \nu }$denota la medida de conteo . Este espacio es atómico, con todos los átomos siendo los singletons , sin embargo, el espacio no puede ser particionado en la unión disjunta de una cantidad numerable de átomos disjuntos,${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$y un conjunto nulo${\displaystyle N}$puesto que la unión numerable de elementos únicos es un conjunto numerable, y la no numerabilidad de los números reales muestra que el complemento${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$tendría que ser incontable, por lo tanto su${\displaystyle \nu }$La medida sería infinita, en contradicción con que sea un conjunto nulo. La validez del resultado para${\displaystyle \sigma }$Los espacios finitos se deducen de la demostración de los espacios de medida finita al observar que la unión numerable de uniones numerables es de nuevo una unión numerable, y que las uniones numerables de conjuntos nulos son nulas.

A${\displaystyle \sigma }$-medida atómica finita${\displaystyle \mu }$Se denomina discreto si la intersección de los átomos de cualquier clase atómica no es vacía. Es equivalente ^{[ 4 ]} decir que${\displaystyle \mu }$ es la suma ponderada de una cantidad numerable de medidas de Dirac, es decir, hay una secuencia${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$de puntos en${\displaystyle X}$y una secuencia${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$de números reales positivos (los pesos) tales que${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$, lo que significa que${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$por cada${\displaystyle A\in \Sigma }$Podemos elegir cada punto${\displaystyle x_{k}}$ser un punto común de los átomos en el${\displaystyle k}$-clase atómica.

Una medida discreta es atómica, pero la implicación inversa falla: tomar${\displaystyle X=[0,1]}$,${\displaystyle \Sigma }$el${\displaystyle \sigma }$-álgebra de subconjuntos numerables y co-contables, ${\displaystyle \mu =0}$en subconjuntos contables y${\displaystyle \mu =1}$en subconjuntos co-contables. Entonces hay una única clase atómica, la formada por los subconjuntos co-contables. La medida${\displaystyle \mu }$es atómico pero la intersección de los átomos en la clase atómica única está vacía y${\displaystyle \mu }$no se puede expresar como una suma de medidas de Dirac.

Si cada átomo es equivalente a un singleton, entonces${\displaystyle \mu }$es discreto si y solo si es atómico. En este caso el${\displaystyle x_{k}}$Arriba se muestran los singletones atómicos, por lo que son únicos. Cualquier medida finita en un espacio métrico separable provisto de los conjuntos de Borel satisface esta condición. ^{[ 5 ]}

Una medida que no tiene átomos se llamamedida no atómica o unamedida difusa . En otras palabras, una medida${\displaystyle \mu }$es no atómico si para cualquier conjunto medible${\displaystyle A}$con${\displaystyle \mu (A)>0}$existe un subconjunto medible${\displaystyle B}$de${\displaystyle A}$de tal manera que $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

Una medida no atómica con al menos un valor positivo tiene un número infinito de valores distintos, como se empieza con un conjunto${\displaystyle A}$con${\displaystyle \mu (A)>0}$Se puede construir una secuencia decreciente de conjuntos medibles. $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ de tal manera que $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

Esto puede no ser cierto para medidas que involucran átomos; véase el primer ejemplo anterior.

Resulta que las medidas no atómicas en realidad tienen un continuo de valores. Se puede demostrar que si${\displaystyle \mu }$es una medida no atómica y${\displaystyle A}$es un conjunto medible con${\displaystyle \mu (A)>0,}$entonces para cualquier número real${\displaystyle b}$satisfactorio $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ existe un subconjunto medible${\displaystyle B}$de${\displaystyle A}$de tal manera que $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

Este teorema se debe a Wacław Sierpiński . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Recuerda al teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Bosquejo de la demostración del teorema de Sierpiński sobre medidas no atómicas. Una afirmación ligeramente más fuerte, que sin embargo facilita la demostración, es que si${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es un espacio de medida no atómico y${\displaystyle \mu (X)=c,}$existe una función${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$que es monótono con respecto a la inclusión y un inverso derecho a${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to [0,c].} Es decir, existe una familia uniparamétrica de conjuntos medibles.${\displaystyle S(t)}$de tal manera que para todos${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&\subseteq S(t'),\\\mu \left(S(t)\right)&=t.\end{aligned}}}$$ La demostración se deduce fácilmente del lema de Zorn aplicado al conjunto de todas las secciones parciales monótonas.${\displaystyle \mu }$ : $${\displaystyle \Gamma$$ :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monótono} ,{\text{ para todo }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},} ordenado por inclusión de grafos,${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$Entonces es estándar mostrar que cada cadena en${\displaystyle \Gamma }$tiene un límite superior en${\displaystyle \Gamma ,}$y que cualquier elemento máximo de${\displaystyle \Gamma }$tiene dominio${\displaystyle [0,c],}$probando la afirmación.

• Átomo (teoría del orden) : un concepto análogo en la teoría del orden.
• función delta de Dirac
• Evento elemental , también conocido como evento atómico.

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Análisis real . Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. pág. 108. ISBN  0-13-458886-X.
• Butnariu, Dan; Klement, EP (1993). Medidas triangulares basadas en normas y juegos con coaliciones difusas . Dordrecht: Kluwer Academic. p.  87. ISBN 0-7923-2369-6.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales, Parte 1. Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-60848-6.
• Kadets, Vladimir (2018). Un curso de análisis funcional y teoría de la medida . Universitext. doi : 10.1007/978-3-319-92004-7 . ISBN 978-3-319-92003-0ISSN 0172-5939​​ 

• El átomo en la Enciclopedia de Matemáticas