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Articulo de referencia

Sistema causal

En la teoría de control , un sistema causal (también conocido como sistema físico o no anticipativo ) es un sistema donde la salida depende de entradas pasadas y presentes pero ...

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En la teoría de control , un sistema causal (también conocido como sistema físico o no anticipativo ) es un sistema donde la salida depende de entradas pasadas y presentes pero no de entradas futuras, es decir, la saliday(t0){\displaystyle y(t_{0})}depende únicamente de la entradaincógnita(t){\displaystyle x(t)}para valores det≤t0{\displaystyle t\leq t_{0}}.

La idea de que la salida de una función en cualquier momento depende únicamente de valores de entrada pasados ​​y presentes se define mediante la propiedad comúnmente conocida como causalidad . Un sistema que tiene cierta dependencia de valores de entrada futuros (además de una posible dependencia de valores de entrada pasados ​​o presentes) se denomina sistema no causal o acausal , y un sistema que depende únicamente de valores de entrada futuros es un sistema anticausal . Cabe señalar que algunos autores han definido un sistema anticausal como aquel que depende únicamente de valores de entrada futuros y presentes o, más simplemente, como un sistema que no depende de valores de entrada pasados. [ 1 ]

Clásicamente, la naturaleza o la realidad física se ha considerado un sistema causal. La física que involucra la relatividad especial o la relatividad general requiere definiciones más precisas de causalidad, como se describe detalladamente en Causalidad (física) .

La causalidad de los sistemas también desempeña un papel importante en el procesamiento digital de señales , donde los filtros se construyen de forma causal, a veces modificando una formulación no causal para eliminar la falta de causalidad y hacerla realizable. Para más información, consulte filtro causal .

Para un sistema causal, la respuesta impulsional del sistema debe utilizar únicamente los valores presentes y pasados ​​de la entrada para determinar la salida. Este requisito es una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea causal, independientemente de su linealidad. Cabe señalar que reglas similares se aplican tanto a casos discretos como continuos. Según esta definición de no requerir valores de entrada futuros, los sistemas deben ser causales para procesar señales en tiempo real. [ 2 ]

Definiciones matemáticas

Definición 1: Un mapeo de sistemasincógnita{\displaystyle x}ay{\displaystyle y}es causal si y solo si , para cualquier par de señales de entradaincógnita1(t){\displaystyle x_{1}(t)},incógnita2(t){\displaystyle x_{2}(t)}y cualquier elección det0{\displaystyle t_{0}}, de tal manera que

incógnita1(t)=incógnita2(t),∀ t<t0,{\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}

Las salidas correspondientes satisfacen

y1(t)=y2(t),∀ t<t0.{\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}

Definición 2: Supongamosh(t){\displaystyle h(t)}es la respuesta impulsional de cualquier sistemaH{\displaystyle H}descrito por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes . El sistemaH{\displaystyle H}es causal si y solo si

h(t)=0,∀ t<0{\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}

De lo contrario, no es causal.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos son para sistemas con una entradaincógnita{\displaystyle x}y saliday{\displaystyle y}.

Ejemplos de sistemas causales

y(t)=incógnita(t)porque⁡(ωt){\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}
  • Sistema con capacidad de memoria
y(t)=incógnita(t)porque⁡(ωt)−incógnita(t−τ){\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)-x\left(t-\tau \right)}
y(t)=∫0∞incógnita(t−τ)mi−βτdτ{\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }

Ejemplos de sistemas no causales (acausales)

y(t)=∫−∞∞pecado⁡(t+τ)incógnita(τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }
  • Media móvil central
ynorte=12incógnitanorte−1+12incógnitanorte+1{\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}

Ejemplos de sistemas anticausales

y(t)=∫0∞incógnita(t+τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _ {0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }
  • Mirar hacia adelante
ynorte=incógnitanorte+1{\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}

Ejemplos adicionales de sistemas causales

y(t)=∫−∞tincógnita(τ)h(t−τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau }
y[norte]=1norte∑k=0norte−1incógnita[norte−k]{\displaystyle y[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x[nk]}

Ejemplos adicionales de sistemas no causales (acausales)

  • Filtro de suavizado
y(t)=1T∫t−T/2t+T/2incógnita(τ)dτ{\displaystyle y(t)={\frac {1}{T}}\int _{tT/2}^{t+T/2}x(\tau )\,d\tau }
  • Filtro de paso bajo ideal
y(t)=∫−∞∞incógnita(τ)sinortedo(t−τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\mathrm {sinc} (t-\tau )\,d\tau }

Ejemplos adicionales de sistemas anticausales

  • Dependencia de insumos futuros
y(t)=∫t∞incógnita(τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _ {t}^{\infty }x(\tau )\,d\tau }

Véase también

Referencias

  1. ↑ Karimi, K.; Hamilton, HJ (2011). "Generación e interpretación de reglas de decisión temporales". Revista internacional de sistemas de información informática y aplicaciones de gestión industrial . 3. arXiv : 1004.3334 .
  2. ↑ McClellan, James H.; Schafer, Ronald W.; Yoder, Mark A. (2015). DSP Primera, Segunda Edición . Pearson Education. pág. 151. ISBN  978-0136019251.
  • Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Hamid (1998). Señales y sistemas . Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.