Distribución chi no central

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución chi no central ^{[ 1 ]} es una generalización no central de la distribución chi . También se la conoce como distribución de Rayleigh generalizada.

Si${\displaystyle X_{i}}$son k variables aleatorias independientes, distribuidas normalmente con medias${\displaystyle \mu _{i}}$y variaciones${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, entonces la estadística

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

se distribuye según la distribución chi no central. La distribución chi no central tiene dos parámetros:${\displaystyle k}$que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de${\displaystyle X_{i}}$), y${\displaystyle \lambda }$que está relacionado con la media de las variables aleatorias${\displaystyle X_{i}}$por:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Dejar${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$, sea un conjunto de n vectores aleatorios normales bivariados independientes e idénticamente distribuidos con distribuciones marginales${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$correlación${\displaystyle \rho }$y el vector medio y la matriz de covarianza

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

con${\displaystyle \Sigma }$definido positivo . Definir

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Entonces, la distribución conjunta de U y V es una distribución chi bivariada central o no central con n grados de libertad . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Si uno o ambos${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$o${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$La distribución es una distribución chi bivariada no central.

• Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución chi no central, la variable aleatoria${\displaystyle X^{2}}$tendrá la distribución chi-cuadrado no central . Allí se pueden ver otras distribuciones relacionadas.
• Si${\displaystyle X}$¿Se distribuye chi ?${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$entonces${\displaystyle X}$También tiene una distribución chi no central:${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$En otras palabras, la distribución chi es un caso especial de la distribución chi no central (es decir, con un parámetro de no centralidad de cero).
• Una distribución chi no central con 2 grados de libertad es equivalente a una distribución de Rice con${\displaystyle \sigma =1}$.
• Si X sigue una distribución chi no central con 1 grado de libertad y parámetro de no centralidad λ, entonces σ X sigue una distribución normal plegada cuyos parámetros son iguales a σλ y σ ² para cualquier valor de σ.