Orden (teoría de anillos)

En matemáticas , ciertos subconjuntos de algunos campos se denominan órdenes . El conjunto de los números enteros es un orden en los números racionales (el único). En un campo de números algebraicos${\displaystyle K}$⁠ , un orden es un anillo de enteros algebraicos cuyo cuerpo de fracciones es ⁠${\displaystyle K}$⁠ , y el orden máximo , a menudo denotado ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$⁠ , es el anillo de todos los enteros algebraicos en ⁠${\displaystyle K}$⁠ . En un campo local no arquimediano ⁠${\displaystyle K}$⁠ , un orden es un subanillo generado por un número finito de elementos de valuación no negativa. En ese caso, el orden máximo, denotado ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$⁠ , es el anillo de valoración formado por todos los elementos de valoración no negativos.

El hecho de dar el mismo nombre a nociones aparentemente tan diferentes está motivado por el principio local-global que relaciona las propiedades de un cuerpo numérico con las propiedades de todos sus cuerpos locales.

La definición de un orden depende en cierta medida del contexto. La definición más simple se encuentra en un campo de números algebraicos.${\displaystyle F}$, donde una orden${\displaystyle R}$es un subanillo de${\displaystyle F}$que es un finitamente generado${\displaystyle \mathbb {Z} }$- módulo , que contiene una base racional de${\displaystyle F}$, es decir, de tal manera que${\displaystyle \mathbb {Q} R=F.}$

Por otro lado, si${\displaystyle F}$es un campo local no arquimediano , un orden es un subanillo compacto-abierto${\displaystyle R}$de${\displaystyle F}$. El orden máximo en este caso es el anillo de valoración del cuerpo.

De manera más general, lo que incluye ambos casos especiales, si${\displaystyle R}$un dominio integral con campo de fracción${\displaystyle K}$, un${\displaystyle R}$-orden en una dimensión finita${\displaystyle K}$-álgebra${\displaystyle A}$es un subanillo${\displaystyle {\mathcal {O}}}$de${\displaystyle A}$que es un completo${\displaystyle R}$-red; es decir, es una red finita${\displaystyle R}$-módulo con la propiedad que${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _ {R}K=A}$. ^{[ 1 ]}

Cuando${\displaystyle A}$No es un anillo conmutativo , la idea de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son los cuaterniones con coordenadas enteras en el sentido más obvio. Los órdenes máximos existen en general, pero no tienen por qué ser únicos: en general no hay un orden máximo, sino varios órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupos integrales .

Algunos ejemplos de órdenes son: ^{[ 2 ]}

• Si${\displaystyle A}$es el anillo de matriz${\displaystyle M_{n}(K)}$encima${\displaystyle K}$, luego el anillo de matriz${\displaystyle M_{n}(R)}$encima${\displaystyle R}$es un${\displaystyle R}$-mandar entrar${\displaystyle A}$
• Si${\displaystyle R}$es un dominio integral y${\displaystyle L}$una extensión separable finita de${\displaystyle K}$, entonces el cierre integral${\displaystyle S}$de${\displaystyle R}$en${\displaystyle L}$es un${\displaystyle R}$-mandar entrar${\displaystyle L}$.
• Si${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$es un elemento integral sobre${\displaystyle R}$, entonces el anillo polinomial${\displaystyle R[a]}$es un${\displaystyle R}$-orden en el álgebra${\displaystyle K[a]}$
• Si${\displaystyle A}$es el anillo del grupo${\displaystyle K[G]}$de un grupo finito${\displaystyle G}$, entonces${\displaystyle R[G]}$es un${\displaystyle R}$-pedido en${\displaystyle K[G]}$

Una propiedad fundamental de${\displaystyle R}$-los pedidos es que cada elemento de un${\displaystyle R}$-el orden es integral sobre${\displaystyle R}$. ^{[ 3 ]}

Si el cierre integral${\displaystyle S}$de${\displaystyle R}$en${\displaystyle A}$es un${\displaystyle R}$-ordenar entonces la integralidad de cada elemento de cada${\displaystyle R}$-el orden muestra que${\displaystyle S}$debe ser el máximo único${\displaystyle R}$-mandar entrar${\displaystyle A}$. Sin embargo${\displaystyle S}$no tiene por qué ser siempre un${\displaystyle R}$-orden: efectivamente${\displaystyle S}$Ni siquiera tiene que ser un anillo, e incluso si${\displaystyle S}$es un anillo (por ejemplo, cuando${\displaystyle A}$es conmutativa) entonces${\displaystyle S}$no tiene por qué ser un${\displaystyle R}$-red. ^{[ 3 ]}

El ejemplo principal es el caso donde${\displaystyle A}$es un campo numérico${\displaystyle K}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es su anillo de enteros . En la teoría algebraica de números hay ejemplos para cualquier${\displaystyle K}$aparte del cuerpo racional de subanillos propios del anillo de enteros que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de cuerpo${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$de racionales gaussianos sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, el cierre integral de${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es el anillo de enteros gaussianos${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$y por lo tanto este es el máximo único${\displaystyle \mathbb {Z} }$-pedido: todos los demás pedidos en${\displaystyle A}$están contenidos en él. Por ejemplo, podemos tomar el subanillo de números complejos de la forma${\displaystyle a+2bi}$, con${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$enteros. ^{[ 4 ]}

La cuestión del orden máximo puede examinarse a nivel de campo local . Esta técnica se aplica en la teoría algebraica de números y en la teoría de la representación modular .

• Orden de cuaterniones de Hurwitz : un ejemplo de orden de anillo.

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algebraica algorítmica de números . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol.  30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001 . 
• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie. Vol.  28. Oxford University Press . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .