Derecho de conservación

En física , una ley de conservación establece que una propiedad medible particular de un sistema físico aislado no cambia a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. Las leyes de conservación exactas incluyen la conservación de la masa-energía , la conservación del momento lineal , la conservación del momento angular y la conservación de la carga eléctrica . También existen muchas leyes de conservación aproximadas, que se aplican a cantidades tales como la masa , la paridad , ^{[ 1 ]} el número leptónico , el número bariónico , la extrañeza , la hipercarga , etc. Estas cantidades se conservan en ciertas clases de procesos físicos, pero no en todos.

Una ley de conservación local se expresa matemáticamente como una ecuación de continuidad , una ecuación diferencial parcial que establece una relación entre la cantidad de una sustancia y su transporte. Indica que la cantidad de la sustancia conservada en un punto o dentro de un volumen solo puede variar según la cantidad de la sustancia que entra o sale de dicho volumen.

Según el teorema de Noether , toda simetría diferenciable conduce a una ley de conservación local. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} También pueden existir otras cantidades conservadas.

Las leyes de conservación son fundamentales para nuestra comprensión del mundo físico, ya que describen qué procesos pueden o no ocurrir en la naturaleza. Por ejemplo, la ley de conservación de la energía establece que la cantidad total de energía en un sistema aislado no cambia, aunque sí puede cambiar de forma. En general, la cantidad total de la propiedad regida por esta ley permanece inalterada durante los procesos físicos. En la física clásica, las leyes de conservación incluyen la conservación de la energía, la masa (o materia), el momento lineal, el momento angular y la carga eléctrica. En la física de partículas , las partículas no pueden crearse ni destruirse excepto en pares, donde una es ordinaria y la otra es una antipartícula. En cuanto a las simetrías y los principios de invariancia, se han descrito tres leyes de conservación especiales, asociadas a la inversión o reversión del espacio, el tiempo y la carga.

Las leyes de conservación se consideran leyes fundamentales de la naturaleza, con una amplia aplicación en la física, así como en otros campos como la química, la biología, la geología y la ingeniería.

La mayoría de las leyes de conservación son exactas o absolutas, en el sentido de que se aplican a todos los procesos posibles. Algunas leyes de conservación son parciales, ya que se aplican a algunos procesos pero no a otros.

Un resultado particularmente importante en relación con las leyes de conservación locales es el teorema de Noether , que establece una correspondencia biunívoca entre cada una de ellas y una simetría diferenciable del Universo . Por ejemplo, la conservación local de la energía se deriva de la uniformidad del tiempo y la conservación local del momento angular surge de la isotropía del espacio , ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 4 ]} es decir, porque no hay una dirección preferida del espacio. Cabe destacar que no existe ninguna ley de conservación asociada a la inversión temporal , aunque se conocen leyes de conservación más complejas que combinan la inversión temporal con otras simetrías .

Una lista parcial de ecuaciones de conservación física debidas a la simetría que se consideran leyes exactas , o más precisamente, que nunca se ha demostrado que se violen:

Otra simetría exacta es la simetría CPT , que consiste en la inversión simultánea de las coordenadas espaciales y temporales, junto con el intercambio de todas las partículas por sus antipartículas; sin embargo, al ser una simetría discreta, el teorema de Noether no se aplica a ella. Por consiguiente, la magnitud conservada, la paridad CPT , generalmente no puede calcularse ni determinarse de forma significativa.

También existen leyes de conservación aproximadas . Estas son aproximadamente ciertas en situaciones particulares, como velocidades bajas, escalas de tiempo cortas o ciertas interacciones.

• Conservación de la energía mecánica (macroscópica) (aproximadamente válida para procesos prácticamente libres de fuerzas disipativas como la fricción).
• Conservación de la masa (en reposo) (aproximadamente válida para velocidades no relativistas )
• Conservación del número bariónico (Véase anomalía quiral y esfalerón )
• Conservación del número leptónico (en el Modelo Estándar )
• Conservación del sabor (violada por la interacción débil )
• Conservación de la extrañeza (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad espacial (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad de carga (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad temporal (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad CP (violada por la interacción débil )
• Conservación de la simetría CPT (en el Modelo Estándar ).

La cantidad total de alguna magnitud conservada en el universo podría permanecer inalterada si una cantidad igual apareciera en un punto A y desapareciera simultáneamente de otro punto B distinto . Por ejemplo, una cantidad de energía podría aparecer en la Tierra sin cambiar la cantidad total en el Universo si la misma cantidad de energía desapareciera de alguna otra región del Universo. Esta forma débil de conservación "global" no es realmente una ley de conservación porque no es invariante de Lorentz , por lo que fenómenos como el anterior no ocurren en la naturaleza. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Debido a la relatividad especial , si la aparición de la energía en A y la desaparición de la energía en B son simultáneas en un sistema de referencia inercial , no lo serán en otros sistemas de referencia inerciales que se mueven con respecto al primero. En un sistema de referencia en movimiento, una ocurrirá antes que la otra; o bien la energía en A aparecerá antes o después de que la energía en B desaparezca. En ambos casos, durante el intervalo la energía no se conservará.

Una forma más estricta de ley de conservación requiere que, para que la cantidad de una magnitud conservada en un punto cambie, debe existir un flujo de dicha magnitud hacia o desde ese punto. Por ejemplo, la cantidad de carga eléctrica en un punto nunca cambia sin una corriente eléctrica que entre o salga del punto y transporte la diferencia de carga. Dado que solo implica cambios locales continuos, este tipo más estricto de ley de conservación es invariante de Lorentz ; una magnitud conservada en un sistema de referencia se conserva en todos los sistemas de referencia en movimiento. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Esto se denomina ley de conservación local . ^{[ 6 ] [ 7 ]} La conservación local también implica la conservación global; es decir, que la cantidad total de la magnitud conservada en el Universo permanece constante. Todas las leyes de conservación enumeradas anteriormente son leyes de conservación local. Una ley de conservación local se expresa matemáticamente mediante una ecuación de continuidad , que establece que el cambio en la magnitud en un volumen es igual al "flujo" neto total de la magnitud a través de la superficie del volumen. Las siguientes secciones tratan sobre las ecuaciones de continuidad en general.

En mecánica de medios continuos , la forma más general de una ley de conservación exacta viene dada por una ecuación de continuidad . Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica q es$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$donde ∇⋅ es el operador de divergencia , ρ es la densidad de q (cantidad por unidad de volumen), j es el flujo de q (cantidad que cruza un área unitaria en una unidad de tiempo) y t es el tiempo.

Si suponemos que el movimiento u de la carga es una función continua de la posición y el tiempo, entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}}$$

En una dimensión espacial, esto se puede expresar en forma de una ecuación hiperbólica cuasilineal homogénea de primer orden : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y se denomina densidad de una cantidad conservada , y A ( y ) se denomina jacobiano actual , y se ha empleado la notación de subíndices para las derivadas parciales . El caso no homogéneo más general:$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$$No es una ecuación de conservación, sino el tipo general de ecuación de balance que describe un sistema disipativo . La variable dependiente y se llama cantidad no conservada , y el término no homogéneo s ( y , x , t ) es la fuente , o disipación . Por ejemplo, ecuaciones de balance de este tipo son las ecuaciones de Navier-Stokes de momento y energía , o el balance de entropía para un sistema aislado general .

En el espacio unidimensional , una ecuación de conservación es una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden que puede expresarse en forma de advección :$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y ( x , t ) se denomina densidad de la cantidad conservada (escalar), y a ( y ) se denomina coeficiente de corriente , que generalmente corresponde a la derivada parcial en la cantidad conservada de una densidad de corriente de la cantidad conservada j ( y ) : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

En este caso, dado que se aplica la regla de la cadena :$${\ Displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}$$La ecuación de conservación se puede expresar en forma de densidad de corriente:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

En un espacio con más de una dimensión, la definición anterior puede extenderse a una ecuación que puede expresarse de la siguiente forma:$${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

donde la cantidad conservada es y ( r , t ) , ⋅ denota el producto escalar , ∇ es el operador nabla , que aquí indica un gradiente , y a ( y ) es un vector de coeficientes de corriente, que corresponde análogamente a la divergencia de una densidad de corriente vectorial asociada a la cantidad conservada j ( y ) :$${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

Este es el caso de la ecuación de continuidad :$${\displaystyle \rho _ {t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

Aquí la cantidad conservada es la masa , con densidad ρ ( r , t ) y densidad de corriente ρ u , idéntica a la densidad de momento , mientras que u ( r , t ) es la velocidad del flujo .

En el caso general, una ecuación de conservación también puede ser un sistema de ecuaciones de este tipo (una ecuación vectorial ) de la forma: ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$donde y se denomina cantidad conservada ( vectorial ), ∇ y es su gradiente , 0 es el vector cero y A ( y ) se denomina jacobiano de la densidad de corriente. De hecho, al igual que en el caso escalar anterior, también en el caso vectorial A ( y ) suele corresponder al jacobiano de una matriz de densidad de corriente J ( y ) :$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$y la ecuación de conservación se puede expresar de la siguiente forma:$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

Por ejemplo, este es el caso de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos). En el caso simple e incompresible, son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\,,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$$

dónde:

• u es elvectorde velocidad del flujo , con componentes en un espacio N-dimensional u ₁ , u ₂ , ..., u _N ,
• s es la presión específica(presión por unidad de densidad ) que da el término fuente ,

Se puede demostrar que la cantidad (vectorial) conservada y la matriz de densidad de corriente para estas ecuaciones son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} &={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};&\mathbf {J} &={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \otimes }$denota el producto exterior .

Las ecuaciones de conservación también pueden expresarse en forma integral: la ventaja de esta última radica en que requiere una menor suavidad de la solución, lo que abre el camino a la forma débil , extendiendo la clase de soluciones admisibles para incluir soluciones discontinuas. ^{[ 8 ] : 62–63} Integrando en cualquier dominio espacio-temporal la forma de densidad de corriente en el espacio unidimensional:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$y utilizando el teorema de Green , la forma integral es:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

De manera similar, para el espacio multidimensional escalar, la forma integral es:$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}\mathbf {r} +j(y)\,dt\right]=0}$$donde la integración lineal se realiza a lo largo del límite del dominio, en sentido antihorario. ^{[ 8 ] : 62–63}

Además, al definir una función de prueba φ ( r , t ) continuamente diferenciable tanto en el tiempo como en el espacio con soporte compacto, se puede obtener la forma débil pivotando sobre la condición inicial . En el espacio unidimensional es: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\right]dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

En la formulación débil, todas las derivadas parciales de la densidad y la densidad de corriente se han pasado a la función de prueba, la cual, con la hipótesis anterior, es suficientemente suave como para admitir dichas derivadas. ^{[ 8 ] : 62–63}

• Invariante (física)
• Impulso
  • ecuación de momento de Cauchy
• Energía
  • Conservación de la energía y la primera ley de la termodinámica
• Sistema conservador
• Cantidad conservada
  • Algunos tipos de helicidad se conservan en el límite sin disipación: helicidad hidrodinámica , helicidad magnética , helicidad cruzada .
• Principio de mutabilidad
• Ley de conservación del tensor energía-impulso
• invariante de Riemann
• Filosofía de la física
• Principio totalitario
• Ecuación de convección-difusión
• Uniformidad de la naturaleza

• Philipson, Schuster, Modelado mediante ecuaciones diferenciales no lineales: procesos disipativos y conservativos , World Scientific Publishing Company 2009.
• Victor J. Stenger , 2000. Realidad atemporal: simetría, simplicidad y universos múltiples . Buffalo, NY: Prometheus Books. El capítulo 12 es una introducción sencilla a la simetría, la invariancia y las leyes de conservación.
• E. Godlewski y PA Raviart, Sistemas hiperbólicos de leyes de conservación, Ellipses, 1991.

• Contenido multimedia relacionado con las leyes de conservación en Wikimedia Commons.
• Leyes de conservación – Capítulos 11 a 15 en un libro de texto en línea