Relación de dispersión no lineal

Una relación de dispersión no lineal (NDR) es una relación de dispersión que asigna la velocidad de fase correcta a una estructura de onda no lineal. Como ejemplo de lo diversa e intrincada que puede ser la descripción subyacente, tratamos las estructuras de ondas electrostáticas planas que se propagan en un plasma sin colisiones. Tales estructuras son ubicuas, por ejemplo, en la magnetosfera de la Tierra , en reactores de fusión o en el laboratorio. Correcto significa que esto debe hacerse de acuerdo con las ecuaciones que gobiernan, en este caso el sistema de Vlasov-Poisson, y las condiciones que prevalecen en el plasma durante el proceso de formación de ondas. Esto significa que se debe prestar especial atención a los procesos de atrapamiento de partículas que actúan sobre los electrones e iones resonantes, lo que requiere análisis del espacio de fases. Dado que este último es estocástico, transitorio y más bien filamentoso por naturaleza, todo el proceso de atrapamiento dinámico elude el tratamiento matemático, de modo que puede tenerse en cuenta adecuadamente "solo" en el régimen asintótico y tranquilo de generación de ondas, cuando la estructura está cerca del equilibrio. ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$${\displaystyle v_{0}}$

Aquí es donde entra en juego el método pseudo-potencial en la versión de Schamel, ^{[1] [2]} también conocido como método de Schamel , que es una alternativa al método descrito por Bernstein, Greene y Kruskal. ^[3] En el método de Schamel primero se resuelven las ecuaciones de Vlasov para las especies involucradas y solo en el segundo paso se resuelve la ecuación de Poisson para asegurar la autoconsistencia. El método de Schamel se considera generalmente el método preferido porque es el más adecuado para describir la inmensa diversidad de estructuras electrostáticas, incluidas sus velocidades de fase. Estas estructuras también se conocen como modos de Bernstein-Greene-Kruskal o huecos de electrones e iones en el espacio de fases , o capas dobles, respectivamente. Con el método S, las funciones de distribución para electrones e iones , que resuelven la correspondiente ecuación de Vlasov independiente del tiempo, ${\displaystyle f_{e}(x,v)=F_{e}(\epsilon _{e},\sigma _{e})}$${\displaystyle f_{i}(x,u)=F_{i}(\epsilon _{i},\sigma _{i})}$

${\displaystyle (v\partial _{x}+\phi '(x)\partial _{v})f_{e}(x,v)=0}$y , respectivamente, ${\displaystyle (u\partial _{x}-\theta \phi '(x)\partial _{u})f_{i}(x,u)=0}$

se describen como funciones de las constantes de movimiento . De este modo, se tienen en cuenta adecuadamente las condiciones del plasma no perturbado. Aquí y son las energías de partículas individuales de electrones e iones, respectivamente ; y son los signos de la velocidad de los electrones e iones no atrapados, respectivamente. Se han utilizado cantidades normalizadas y se supone que , donde es la amplitud de la estructura. ${\displaystyle \epsilon _{e}={\frac {v^{2}}{2}}-\phi }$${\displaystyle \epsilon _{i}={\frac {u^{2}}{2}}-\theta (\psi -\phi )}$${\displaystyle \sigma _{e}={\frac {v}{|v|}}}$${\displaystyle \sigma _{i}={\frac {u}{|u|}}}$${\displaystyle \theta ={\frac {T_{e}}{T_{i}}}}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi }$${\displaystyle \psi }$

De particular interés es el rango en el espacio de fases donde las partículas quedan atrapadas en el valle de la onda potencial. Esta área se llena (parcialmente) mediante la dinámica estocástica de partículas durante el proceso de creación anterior y se expresa y parametriza mediante los llamados escenarios de atrapamiento.

En el segundo paso, se integra la ecuación de Poisson, , donde son las densidades correspondientes obtenidas por integración de velocidad de y , con lo que se introduce el pseudopotencial. El resultado es , que representa la pseudoenergía. En los puntos representan los diferentes parámetros de atrapamiento . La integración de la pseudoenergía da como resultado , que por inversión produce el deseado . En estas expresiones ya se utiliza la forma canónica de . ${\displaystyle \phi _{xx}=n_{e}-n_{i}=:-{\mathcal {V}}'(\phi ;...)}$${\displaystyle n_{e},n_{i}}$${\displaystyle F_{e}(\epsilon _{e},\sigma _{e})}$${\displaystyle F_{i}(\epsilon _{i},\sigma _{i})}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi ;...)}}=0}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$${\displaystyle B_{s},D_{1s},D_{2s},C_{s},s=e,i}$${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi ;...)}}}}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$

Sin embargo, hay otros dos parámetros de captura que faltan en el pseudopotencial canónico. En su versión anterior ampliada, eran víctimas de la restricción necesaria de que el gradiente del potencial se anula en su máximo. Este requisito es ${\displaystyle \Gamma _{s},s=e,i}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}(\phi ;...,\Gamma _{e},\Gamma _{i},v_{0})}$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}(\psi ;...,\Gamma _{e},\Gamma _{i},v_{0})=0}$

y conduce al término en cuestión, la relación de dispersión no lineal (NDR) . Permite determinar la velocidad de fase de la estructura en función de los demás parámetros y eliminar de para obtener la canónica . Debido al papel central que desempeñan las dos expresiones y , el método de Schamel a veces también se denomina método pseudopotencial de Schamel (método SPP). Para obtener más información, consulte las referencias 1 ^[1] y 2. ^[2]${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}(\phi ;...,\Gamma _{e},\Gamma _{i},v_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}(\phi ;...,\Gamma _{e},\Gamma _{i},v_{0})}$

Un ejemplo típico del pseudopotencial canónico y el NDR lo da ^[1].${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi ;...)}$ ${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi ;B_{e},B_{i})/\psi ^{2}={\frac {k_{0}^{2}}{2}}\varphi (1-\varphi )+B_{e}{\frac {\varphi ^{2}}{2}}(1-{\sqrt {\varphi }})+B_{i}{\frac {\theta ^{3/2}}{2}}(1-(1-\varphi )^{5/2}-{\frac {1}{2}}\varphi (5-3\varphi ))}$

y por

${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {1}{2}}Z_{r}'({\frac {|v_{D}-v_{0}|}{\sqrt {2}}})-{\frac {\theta }{2}}Z_{r}'({\sqrt {\frac {\theta }{2\delta }}}v_{0})=B_{e}+{\frac {3}{2}}\theta ^{3/2}B_{i}-\Gamma _{e}-\Gamma _{i}}$

donde y , respectivamente. ${\displaystyle \varphi :=\phi /\psi }$${\displaystyle \delta :=m_{e}/m_{i}}$

Estas expresiones son válidas para un plasma de fondo térmico portador de corriente descrito por los maxwellianos (con una deriva entre electrones e iones) y para la presencia de escenarios de atrapamiento perturbativo , s=e,i. ${\displaystyle v_{D}}$${\displaystyle (\Gamma _{s},B_{s})}$

Un ejemplo bien conocido es la relación de dispersión Thumb-Teardrop, que es válida para ondas armónicas individuales y se proporciona como una versión simplificada del NDR anterior con parámetros de captura cero y una deriva que se desvanece.

${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {1}{2}}Z_{r}'({\frac {v_{0}}{\sqrt {2}}})-{\frac {\theta }{2}}Z_{r}'({\sqrt {\frac {\theta }{2\delta }}}v_{0})=0}$.

Se ha discutido detalladamente en ^[4] pero erróneamente ^[5] como una relación de dispersión lineal.

En la figura 1 se presenta un gráfico para un tipo más general de estructuras, los huecos electrónicos cnoidales periódicos, ^[6] para el caso de iones inmóviles ( ) que muestra el efecto del parámetro de atrapamiento de electrones para valores positivos y negativos. ${\displaystyle \omega _{0}:=k_{0}v_{0}}$${\displaystyle B_{e}=B,B_{i}=0}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle B}$

Por último, cabe mencionar que un NDR tiene la agradable propiedad de que sigue siendo válido incluso si el potencial tiene una forma no revelada, es decir, ya no puede describirse mediante funciones matemáticamente conocidas. ^[1]${\displaystyle \phi (x)}$