Conjunto no mensurable

En matemáticas , un conjunto no mensurable es un conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo. La existencia de tales conjuntos se interpreta como una forma de proporcionar información sobre las nociones de longitud , área y volumen en la teoría formal de conjuntos. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de elección implica que los subconjuntos no mensurables de${\displaystyle \mathbb {R} }$existir.

La noción de conjunto no mensurable ha sido fuente de gran controversia desde su introducción. Históricamente, esto llevó a Borel y Kolmogorov a formular la teoría de la probabilidad sobre conjuntos que deben ser medibles. Los conjuntos medibles en la recta son uniones e intersecciones numerables iteradas de intervalos (llamados conjuntos de Borel ), más o menos conjuntos nulos . Estos conjuntos son lo suficientemente amplios como para incluir cualquier definición imaginable de conjunto que surja en las matemáticas estándar, pero requieren un formalismo considerable para demostrar que son medibles.

En 1970, Robert M. Solovay construyó el modelo de Solovay , que demuestra que, sin elección no numerable, todos los subconjuntos de los números reales son medibles, de acuerdo con la teoría de conjuntos estándar. Sin embargo, el resultado de Solovay depende de la existencia de un cardinal inaccesible , cuya existencia y consistencia no pueden probarse dentro de la teoría de conjuntos estándar.

La primera indicación de que podría haber un problema al definir la longitud de un conjunto arbitrario provino del teorema de Vitali . ^{[ 1 ]} Una construcción combinatoria más reciente, similar a la construcción de Robin Thomas de un conjunto medible no Lebesgue con algunas propiedades adicionales, apareció en American Mathematical Monthly. ^{[ 2 ]}

Cabría esperar que la medida de la unión de dos conjuntos disjuntos fuera la suma de las medidas de ambos conjuntos. Una medida con esta propiedad natural se denomina finitamente aditiva . Si bien una medida finitamente aditiva es suficiente para la mayoría de las intuiciones sobre el área y es análoga a la integración de Riemann , se considera insuficiente para la probabilidad , ya que los tratamientos modernos convencionales de secuencias de eventos o variables aleatorias exigen aditividad contable .

En este sentido, el plano es similar a la línea; existe una medida finitamente aditiva, que extiende la medida de Lebesgue, y que es invariante bajo todas las isometrías . Para dimensiones superiores , la situación se complica. La paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski demuestran que una esfera tridimensional de radio 1 puede dividirse en 5 partes que pueden recombinarse para formar dos esferas de radio 1.

Considerar${\displaystyle S,}$el conjunto de todos los puntos en el círculo unitario y la acción sobre${\displaystyle S}$por un grupo${\displaystyle G}$que consiste en todas las rotaciones racionales (rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de${\displaystyle \pi }$). Aquí${\displaystyle G}$es contable (más específicamente,${\displaystyle G}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$) mientras${\displaystyle S}$es incontable. Por lo tanto${\displaystyle S}$se divide en innumerables órbitas bajo${\displaystyle G}$(la órbita de${\displaystyle s\in S}$es el conjunto contable${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$). Utilizando el axioma de elección , podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto no numerable.${\displaystyle X\subset S}$con la propiedad de que todos los racionales se traducen (copias traducidas de la forma${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$por alguna razón${\displaystyle q}$) ^{[ 3 ]} de${\displaystyle X}$por${\displaystyle G}$son disjuntos por pares (es decir, disjuntos de${\displaystyle X}$y entre sí). El conjunto de esas traslaciones divide el círculo en una colección numerable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes por pares (por rotaciones racionales). El conjunto${\displaystyle X}$será no medible para cualquier medida de probabilidad aditiva contable invariante a la rotación en${\displaystyle S}$: si${\displaystyle X}$tiene medida cero, la aditividad contable implicaría que todo el círculo tiene medida cero. Si${\displaystyle X}$tiene medida positiva, la aditividad contable mostraría que el círculo tiene medida infinita.

El cociente del grupo aditivo ( R , +) por su subgrupo ( Q , +) de números racionales también se ha utilizado para demostrar la existencia de un conjunto no mensurable. ^{[ 4 ]}

La paradoja de Banach-Tarski demuestra que no hay forma de definir el volumen en tres dimensiones a menos que se haga una de las siguientes cinco concesiones:

1. El volumen de un conjunto puede cambiar al girarlo.
2. El volumen de la unión de dos conjuntos disjuntos puede ser diferente de la suma de sus volúmenes.
3. Algunos conjuntos podrían estar etiquetados como "no medibles", y sería necesario comprobar si un conjunto es "medible" antes de hablar de su volumen.
4. Es posible que haya que modificar los axiomas de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección).
5. El volumen de${\displaystyle [0,1]^{3}}$es${\displaystyle 0}$o${\displaystyle \infty }$.

La teoría de la medida estándar opta por la tercera opción. Se define una familia de conjuntos medibles, que es muy amplia, y casi cualquier conjunto definido explícitamente en la mayoría de las ramas de las matemáticas pertenecerá a esta familia. Generalmente es muy fácil demostrar que un subconjunto específico del plano geométrico es medible. La suposición fundamental es que una sucesión infinita numerable de conjuntos disjuntos satisface la fórmula de la suma, una propiedad denominada σ-aditividad .

En 1970, Solovay demostró que la existencia de un conjunto no mensurable para la medida de Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia de un axioma adicional (como el axioma de elección), al mostrar que (suponiendo la consistencia de un cardinal inaccesible ) hay un modelo de ZF, llamado modelo de Solovay , en el que se cumple la elección numerable , cada conjunto es medible de Lebesgue y en el que falla el axioma completo de elección.

El axioma de elección es equivalente a un resultado fundamental de la topología de conjuntos de puntos , el teorema de Tychonoff , y también a la conjunción de dos resultados fundamentales del análisis funcional, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Krein-Milman . Asimismo, influye considerablemente en el estudio de los grupos infinitos, así como en la teoría de anillos y del orden (véase el teorema del ideal primo booleano ). Sin embargo, los axiomas de determinación y elección dependiente, en conjunto, son suficientes para la mayor parte de la teoría geométrica de la medida , la teoría del potencial , las series de Fourier y las transformadas de Fourier , a la vez que hacen que todos los subconjuntos de la recta real sean medibles según Lebesgue.

• Paradoja de Banach-Tarski - Teorema geométrico 
• El criterio de Carathéodory – Parte de la teoría de la medida matemática 
• Paradoja de Hausdorff : una paradoja en matemáticas. 
• Medida (matemáticas) – Generalización de masa, longitud, área y volumen 
• Conjunto no Borel – Clase de conjuntos matemáticos Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Medida externa – Función matemática 
• Conjunto de Vitali : conjunto de números reales que no es medible según Lebesgue.