submódulo singular

En las ramas del álgebra abstracta conocidas como teoría de anillos y teoría de módulos , cada R - módulo derecho (respectivamente, izquierdo) M tiene un submódulo singular que consta de elementos cuyos anuladores son ideales esenciales derechos (respectivamente, izquierdos) en R. En notación de conjuntos, se suele denotar como${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$. Para anillos generales ,${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$es una buena generalización del submódulo de torsión tors( M ) que se define con mayor frecuencia para dominios . En el caso de que R sea un dominio conmutativo ,${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$.

Si R es cualquier anillo,${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_ {R})}$se define considerando a R como un módulo derecho, y en este caso${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_ {R})}$es un ideal bilateral de R llamado ideal singular derecho de R. El análogo zurdo${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$se define de manera similar. Es posible que${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$.

A continuación se presentan varias definiciones utilizadas al estudiar submódulos singulares e ideales singulares. En lo que sigue, M es un R -módulo:

• M se denomina módulo singular si${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$.
• M se denomina módulo no singular si${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$.
• R se denomina no singular derecha si${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$Un anillo no singular izquierdo se define de manera similar, utilizando el ideal singular izquierdo, y es totalmente posible que un anillo sea no singular derecho pero no izquierdo.

En los anillos con unidad siempre es el caso que${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$Por lo tanto, el término "anillo singular derecho" no suele definirse de la misma manera que los módulos singulares. Algunos autores han utilizado "anillo singular" para referirse a "que tiene un ideal singular distinto de cero"; sin embargo, este uso no es coherente con el uso de los adjetivos para módulos.

Algunas propiedades generales del submódulo singular incluyen:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$dónde${\displaystyle \mathrm {soc} (M_ {R})\,}$denota el zócalo de${\displaystyle R_{R}}$.
• Si f es un homomorfismo de R- módulos de M a N , entonces${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$.
• Si N es un submódulo de M , entonces${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$.
• Las propiedades "singular" y "no singular" son propiedades invariantes de Morita .
• Los ideales singulares de un anillo contienen elementos nilpotentes centrales del mismo. Por consiguiente, el ideal singular de un anillo conmutativo contiene el nilradical del anillo.
• Una propiedad general del submódulo de torsión es que${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$, pero esto no necesariamente se cumple para el submódulo singular. Sin embargo, si R es un anillo no singular derecho, entonces${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$.
• Si N es un submódulo esencial de M (ambos son módulos derechos), entonces M / N es singular. Si M es un módulo libre , o si R es no singular por la derecha, entonces se cumple lo contrario.
• Un módulo semisimple es no singular si y solo si es un módulo proyectivo .
• Si R es un anillo autoinyectivo derecho , entonces${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$, donde J( R ) es el radical de Jacobson de R .

Los anillos no singulares derechos son una clase muy amplia, que incluye anillos reducidos , anillos (semi)hereditarios derechos , anillos regulares de von Neumann , dominios , anillos semisimples , anillos de Baer y anillos de Rickart derechos .

En el caso de los anillos conmutativos, ser no singular equivale a ser un anillo reducido.

El teorema de Johnson (debido a R. E. Johnson ( Lam 1999 , p. 376) ) contiene varias equivalencias importantes. Para cualquier anillo R , las siguientes son equivalentes: 

1. R es no singular derecha.
2. La envoltura inyectiva E( R _R ) es un R -módulo derecho no singular .
3. El anillo de endomorfismo${\displaystyle S=\mathrm {Fin} (E(R_{R}))\,}$es un anillo semiprimitivo (es decir,${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$).
4. El anillo derecho máximo de cocientes${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$es regular de von Neumann.

La no singularidad derecha también tiene una fuerte interacción con los anillos autoinyectivos derechos.

Teorema: Si R es un anillo autoinyectivo por la derecha, entonces las siguientes condiciones sobre R son equivalentes: no singular por la derecha, regular de von Neumann, semihereditario por la derecha, Rickart por la derecha, Baer por la derecha, semiprimitivo. ( Lam 1999 , p. 262) 

El artículo ( Zelmanowitz 1983 ) utilizó módulos no singulares para caracterizar la clase de anillos cuyo anillo derecho maximal de cocientes tiene una cierta estructura.

Teorema: Si R es un anillo, entonces${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$es un anillo lineal completo por la derecha si y solo si R tiene un módulo uniforme , fiel y no singular . Además,${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$es un producto directo finito de anillos lineales completos si y solo si R tiene un módulo fiel no singular con dimensión uniforme finita .

• Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos no singulares y módulos , Matemáticas Puras y Aplicadas, n.° 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs.  viii+206, MR 0429962 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 

• Zelmanowitz, JM (1983), "La estructura de anillos con módulos no singulares fieles", Trans. Amer. Math. Soc. , 278 (1): 347– 359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN 0002-9947 , MR 0697079