Modelo aritmético no estándar

En lógica matemática , un modelo aritmético no estándar es un modelo de aritmética de Peano de primer orden que contiene números no estándar. El término modelo aritmético estándar se refiere a los números naturales estándar 0, 1, 2, …. Los elementos de cualquier modelo de aritmética de Peano están ordenados linealmente y poseen un segmento inicial isomorfo a los números naturales estándar. Un modelo no estándar es aquel que tiene elementos adicionales fuera de este segmento inicial. La construcción de tales modelos se debe a Thoralf Skolem (1934).

Los modelos no estándar de aritmética existen únicamente para la formulación de primer orden de los axiomas de Peano ; para la formulación original de segundo orden , existe, salvo isomorfismo, un único modelo: los propios números naturales. ^{[ 1 ]}

Existencia

Existen varios métodos que pueden utilizarse para demostrar la existencia de modelos aritméticos no estándar.

Del teorema de compacidad

La existencia de modelos aritméticos no estándar puede demostrarse mediante la aplicación del teorema de compacidad . Para ello, se define un conjunto de axiomas P * en un lenguaje que incluye el lenguaje de la aritmética de Peano junto con un nuevo símbolo constante c . Los axiomas consisten en los axiomas de la aritmética de Peano P* junto con otro conjunto infinito de axiomas: para cada número natural estándar n , se incluye el axioma c > n . Cualquier subconjunto finito de estos axiomas es satisfecho por un modelo que consiste en el modelo aritmético estándar más la constante c interpretada como algún número mayor que cualquier numeral mencionado en el subconjunto finito de P *. Por lo tanto, según el teorema de compacidad, existe un modelo que satisface todos los axiomas P *. Dado que cualquier modelo de P * es un modelo de P (ya que un modelo de un conjunto de axiomas es obviamente también un modelo de cualquier subconjunto de ese conjunto de axiomas), tenemos que nuestro modelo extendido es también un modelo de los axiomas de Peano. El elemento de este modelo correspondiente a c no puede ser un número estándar, porque, como se indicó, es mayor que cualquier número estándar.

Mediante métodos más complejos, es posible construir modelos no estándar con propiedades más complicadas. Por ejemplo, existen modelos de aritmética de Peano en los que el teorema de Goodstein no se cumple. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se puede demostrar que el teorema de Goodstein se cumple en el modelo estándar, por lo que un modelo en el que el teorema de Goodstein no se cumple debe ser no estándar.

A partir de los teoremas de incompletitud

Los teoremas de incompletitud de Gödel también implican la existencia de modelos aritméticos no estándar. Estos teoremas demuestran que una proposición particular G , la proposición de Gödel de la aritmética de Peano, no es ni demostrable ni refutable en dicha aritmética. Según el teorema de completitud , esto significa que G es falsa en algún modelo de la aritmética de Peano. Sin embargo, G es verdadera en el modelo estándar de la aritmética, por lo que cualquier modelo en el que G sea falsa debe ser un modelo no estándar. Así pues, satisfacer ~ G es una condición suficiente para que un modelo sea no estándar. No obstante, no es una condición necesaria; para cualquier proposición de Gödel G y cualquier cardinalidad infinita, existe un modelo de aritmética con G verdadera y de esa cardinalidad.

Incorrección aritmética para modelos con ~ G verdadero

Suponiendo que la aritmética es consistente, la aritmética con ~ G también lo es. Sin embargo, dado que ~ G afirma que la aritmética es inconsistente, la aritmética con ~ G no será ω-consistente (porque ~ G es falso y esto viola la ω-consistencia).

De un ultraproducto

Otro método para construir un modelo no estándar de aritmética es mediante un ultraproducto . Una construcción típica utiliza el conjunto de todas las secuencias de números naturales, $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ . Elija un ultrafiltro gratuito en $\mathbb {N}$ Luego, se identifican dos secuencias siempre que tengan valores iguales en posiciones que forman un miembro del ultrafiltro (esto requiere que coincidan en infinitas posiciones, pero la condición es más fuerte que esto, ya que los ultrafiltros se asemejan a extensiones máximas del filtro de Fréchet , similares a los axiomas de elección). El semianillo resultante es un modelo aritmético no estándar. Se puede identificar con los números hipernaturales . ^{[ 2 ]}

Estructura de modelos no estándar contables

Los modelos de ultraproducto son incontables. Una forma de ver esto es construir una inyección a partir del producto infinito. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ en el ultraproducto. Sin embargo, según el teorema de Löwenheim-Skolem, deben existir modelos no estándar numerables de aritmética. Una forma de definir dicho modelo es usar la semántica de Henkin .

Cualquier modelo no estándar contable de aritmética tiene un tipo de orden ω + (ω* + ω) ⋅ η , donde ω es el tipo de orden de los números naturales estándar, ω* es el orden dual (una secuencia decreciente infinita) y η es el tipo de orden de los números racionales . En otras palabras, un modelo no estándar contable comienza con una secuencia creciente infinita (los elementos estándar del modelo). A esto le sigue una colección de "bloques", cada uno de tipo de orden ω* + ω , el tipo de orden de los enteros. Estos bloques están a su vez densamente ordenados con el tipo de orden de los racionales. El resultado se deduce con bastante facilidad porque es fácil ver que el ordenamiento de la colección de bloques de números no estándar tiene que ser denso y linealmente ordenado sin extremos, y el tipo de orden de los racionales es el único orden lineal denso contable sin extremos (véase el teorema de isomorfismo de Cantor ). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Así pues, se conoce el tipo de orden de los modelos no estándar contables. Sin embargo, las operaciones aritméticas son mucho más complicadas.

Es fácil ver que la estructura aritmética difiere de ω + (ω* + ω) ⋅ η . Por ejemplo, si un elemento no estándar (no finito) u está en el modelo, entonces también lo está m ⋅ u para cualquier m en el segmento inicial N , pero u ² es mayor que m ⋅ u para cualquier m finito estándar .

También se pueden definir "raíces cuadradas" como el menor v tal que v ² > 2 ⋅ u . Estos no pueden estar dentro de un número finito estándar de ningún múltiplo racional de u . Mediante métodos análogos al análisis no estándar, también se puede usar la aritmética de Peano para definir aproximaciones cercanas a múltiplos irracionales de un número no estándar u como el menor v con v > $π$ ⋅ u (estos se pueden definir en la aritmética de Peano usando aproximaciones racionales finitas no estándar de $π$ aunque $π$ mismo no se pueda). Una vez más, v − ( m / n ) ⋅ ( u / n ) tiene que ser mayor que cualquier número finito estándar para cualquier m , n finito estándar .

Esto demuestra que la estructura aritmética de un modelo no estándar contable es más compleja que la de los números racionales. Pero hay más: el teorema de Tennenbaum demuestra que, para cualquier modelo no estándar contable de la aritmética de Peano, no existe una forma de codificar los elementos del modelo como números naturales (estándar) de manera que la suma o la multiplicación sean computables con dichos códigos. Este resultado fue obtenido por primera vez por Stanley Tennenbaum en 1959.

Notas

↑ Hermes 1973 , Cap. VI.3.
↑ Goldblatt 1998 .
↑ Bovykin y Kaye 2001 .
↑ Bovykin 2000 .
↑ Landman – incluye una prueba de que Q es el único orden lineal denso numerable.

Bibliografía

Referencias

Bovykin, Andrey I. (13 de abril de 2000). Sobre los tipos de orden de los modelos de aritmética (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Birmingham, Facultad de Ciencias. Archivado del original (PDF) el 14 de enero de 2013.

Bovykin, Andrey I.; Kaye, Richard (14 de junio de 2001). "Tipos de orden de modelos de aritmética de Peano: una breve revisión" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 3 de enero de 2014. Recuperado el 17 de mayo de 2013 .

Goldblatt, Robert (1998), "Construcción de ultrapotencia de los hiperreales", Lecciones sobre los hiperreales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 188, Nueva York: Springer, pp. 23–33 , doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6_3 , ISBN 978-1-4612-6841-3

Hermes, Hans (1973). Introducción a la lógica matemática . Hochschultext. Londres: Springer. ISBN 3540058192ISSN 1431-4657

Landman, Fred . "Órdenes lineales, discretas, densas y continuas" (PDF) . Consultado el 10 de mayo de 2026 .

Fuentes

Boolos, George ; Jeffrey, Richard (1974). Computabilidad y lógica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38923-2.

Kaye, Richard (1991). Modelos de aritmética de Peano . Oxford University Press . ISBN 0-19-853213-X.

Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 23 (1): 150– 161. doi : 10.4064/fm-23-1-150-161 .

Véase también

Geometría no euclidiana : sobre modelos no estándar en geometría.

[FOOTNOTEHermes1973Ch._VI.3-1] Hermes 1973 , Cap. VI.3.

[FOOTNOTEGoldblatt1998-2] Goldblatt 1998 .

[FOOTNOTEBovykinKaye2001-3] Bovykin y Kaye 2001 .

[FOOTNOTEBovykin2000-4] Bovykin 2000 .

[5] Landman – incluye una prueba de que Q es el único orden lineal denso numerable.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]