Esquema de diferencias finitas no estándar

Los esquemas de diferencias finitas no estándar constituyen un conjunto general de métodos en análisis numérico que proporcionan soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales mediante la construcción de un modelo discreto. Las reglas generales para dichos esquemas no se conocen con precisión. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un modelo de diferencias finitas (DF) de una ecuación diferencial (ED) puede formarse simplemente reemplazando las derivadas con aproximaciones de DF. Sin embargo, esta es una "traducción" ingenua. Si traducimos literalmente del inglés al japonés estableciendo una correspondencia uno a uno entre las palabras, a menudo se pierde el significado original. De manera similar, el modelo de DF ingenuo de una ED puede ser muy diferente de la ED original, ya que el modelo de DF es una ecuación de diferencias con soluciones que pueden ser bastante diferentes de las soluciones de la ED. Para una definición más técnica, véase Mickens 2000. ^{[ 1 ]}

Un modelo de diferencias finitas no estándar (NS) es una "traducción" libre y más precisa de una ecuación diferencial. Por ejemplo, un parámetro (llamémoslo v ) en la ecuación diferencial puede tomar otro valor u en el modelo NS-FD.

Como ejemplo, modelemos la ecuación de onda ,

${\displaystyle (\partial _{t}^{2}-v^{2}\partial _{x}^{2})\Psi (x,t)=0.}$

El modelo ingenuo de diferencias finitas, que ahora llamamos modelo estándar (S) FD, se obtiene aproximando las derivadas con aproximaciones FD. La aproximación FD central de segundo orden de la primera derivada es

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)}{\Delta x}}.}$

Aplicando la aproximación FD anterior a${\displaystyle f'(x)}$, podemos derivar la aproximación FD para${\displaystyle f''(x)}$,

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {{\text{d}}_{x}^{2}f(x)}{\Delta x^{2}}},}$

donde hemos introducido el atajo${\displaystyle {\text{d}}_{x}f(x)=f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)}$por simplicidad tal que${\displaystyle {\text{d}}_{x}{}^{2}f(x)=f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)-2f(x)}$lo cual se puede comprobar aplicando${\displaystyle {\text{d}}_{x}}$en${\displaystyle f(x)}$dos veces. Aproximar ambas derivadas en la ecuación de onda conduce al modelo S-FD,

${\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}$

Si insertas la solución${\displaystyle \phi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}}$de la ecuación de onda (con${\displaystyle \omega /k=v}$)en el modelo S-FD se encuentra que

${\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\phi (x,t)=\epsilon .}$

En general${\displaystyle \epsilon \neq 0}$porque la solución de la aproximación FD a la ecuación de onda no es la misma que la ecuación de onda en sí.

Para construir un modelo NS-FD que tenga la misma solución que la ecuación de onda, coloque un parámetro libre , llámelo u , en lugar de${\displaystyle v\Delta t/\Delta x}$y trata de encontrar un valor de u que haga${\displaystyle \epsilon =0}$. Resulta que este valor de u es

${\displaystyle u={\frac {\sin(\omega \Delta t/2)}{\sin(k\Delta x/2)}}.}$

Por lo tanto, un modelo exacto de diferencias finitas no estándar de la ecuación de onda es

${\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(u\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}$

Se pueden encontrar más detalles y extensiones a dos y tres dimensiones, así como a las ecuaciones de Maxwell, en Cole 2002. ^{[ 2 ]}