Norma del operador

En matemáticas , la norma del operador mide el "tamaño" de ciertos operadores lineales asignando a cada uno un número real llamado su norma del operador . Formalmente, es una norma definida en el espacio de operadores lineales acotados entre dos espacios vectoriales normados dados . Informalmente, la norma del operador${\displaystyle \|T\|}$de un mapa lineal${\displaystyle T:X\to Y}$es el factor máximo por el cual "alarga" los vectores. También se le llama norma límite . ^{[ 1 ]}

Dados dos espacios vectoriales normados${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$(sobre el mismo campo base , ya sean los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$o los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$), un mapa lineal${\displaystyle A:V\to W}$es continua si y solo si existe un número real${\displaystyle c}$de tal manera que ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ para todo }}v\in V.}$$

La norma de la izquierda es la que está en${\displaystyle W}$y la norma de la derecha es la que está en${\displaystyle V}$Intuitivamente, el operador continuo${\displaystyle A}$nunca aumenta la longitud de ningún vector en más de un factor de${\displaystyle c.}$Por lo tanto, la imagen de un conjunto acotado bajo un operador continuo también está acotada. Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como operadores acotados . Para "medir el tamaño" de${\displaystyle A,}$Se puede tomar el ínfimo de los números.${\displaystyle c}$de tal manera que la desigualdad anterior se cumple para todo${\displaystyle v\in V.}$ Este número representa el factor escalar máximo por el cual${\displaystyle A}$"alarga" los vectores. En otras palabras, el "tamaño" de${\displaystyle A}$se mide por cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande". Así que definimos la norma del operador de${\displaystyle A}$como $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ para todo }}v\in V\}.}$$

El ínfimo se alcanza como el conjunto de todos tales${\displaystyle c}$es cerrado , no vacío y acotado inferiormente. ^{[ 3 ]}

Es importante tener en cuenta que esta norma de operador depende de la elección de normas para los espacios vectoriales normados.${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$.

Cada real${\displaystyle m}$-por-${\displaystyle n}$La matriz corresponde a un mapeo lineal desde${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$Cada par de la plétora de normas (vectoriales) aplicables a espacios vectoriales reales induce una norma de operador para todos${\displaystyle m}$-por-${\displaystyle n}$matrices de números reales; estas normas inducidas forman un subconjunto de normas matriciales .

Si elegimos específicamente la norma euclidiana en ambos${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$entonces la norma matricial dada a una matriz${\displaystyle A}$es la raíz cuadrada del mayor valor propio de la matriz${\displaystyle A^{*}A}$(dónde${\displaystyle A^{*}}$denota la transpuesta conjugada de${\displaystyle A}$). ^{[ 4 ]} Esto es equivalente a asignar el mayor valor singular de${\displaystyle A.}$

Pasando a un ejemplo típico de dimensión infinita, consideremos el espacio de secuencias.${\displaystyle \ell ^{2},}$que es un espacio L ^p , definido por $${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

Esto puede considerarse como un análogo de dimensión infinita del espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Ahora consideremos una secuencia acotada.${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$La secuencia${\displaystyle s_{\bullet }}$es un elemento del espacio${\displaystyle \ell ^{\infty },}$con una norma dada por $${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

Defina un operador${\displaystyle T_{s}}$mediante multiplicación punto por punto: $${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

El operador${\displaystyle T_{s}}$está acotado con la norma del operador $${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

Esta discusión se extiende directamente al caso donde${\displaystyle \ell ^{2}}$es reemplazado por un general${\displaystyle L^{p}}$espacio con${\displaystyle p>1}$y${\displaystyle \ell ^{\infty }}$reemplazado por${\displaystyle L^{\infty }.}$

Dejar${\displaystyle A:V\to W}$sea ​​un operador lineal entre espacios normados. Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además${\displaystyle V\neq \{0\}}$entonces todos son equivalentes:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Si${\displaystyle V=\{0\}}$entonces los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos y, en consecuencia, sus supremos sobre el conjunto${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$será igual${\displaystyle -\infty }$en lugar del valor correcto de${\displaystyle 0.}$Si el supremo es tomado sobre el conjunto${\displaystyle [0,\infty ]}$En cambio, entonces el supremo del conjunto vacío es${\displaystyle 0}$y las fórmulas se mantienen para cualquier${\displaystyle V.}$

Es importante destacar que un operador lineal${\displaystyle A:V\to W}$En general, no está garantizado que alcance su norma.${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$en la bola de unidad cerrada${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$lo que significa que podría no existir ningún vector${\displaystyle u\in V}$de norma${\displaystyle \|u\|\leq 1}$de tal manera que${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}$(si tal vector existe y si${\displaystyle A\neq 0,}$entonces${\displaystyle u}$necesariamente tendría norma unitaria${\displaystyle \|u\|=1}$). RC James demostró el teorema de James en 1964, que establece que un espacio de Banach${\displaystyle V}$es reflexivo si y solo si toda función lineal acotada${\displaystyle f\in V^{*}}$alcanza su norma en la bola unitaria cerrada. ^{[ 5 ]} De ello se deduce, en particular, que todo espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado (un tipo de operador lineal acotado) que no alcanza su norma en la bola unitaria cerrada.

Si${\displaystyle A:V\to W}$entonces está acotado ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$ y ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}$$ dónde${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$es la transpuesta de${\displaystyle A:V\to W,}$que es el operador lineal definido por${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

La norma del operador es, en efecto, una norma en el espacio de todos los operadores acotados entre${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$. Esto significa $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$$${\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$$${\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}$$

La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición: $${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

La norma de operadores también es compatible con la composición o multiplicación de operadores: si${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$y${\displaystyle X}$son tres espacios normados sobre el mismo campo base, y${\displaystyle A:V\to W}$y${\displaystyle B:W\to X}$son dos operadores acotados, entonces es una norma submultiplicativa , es decir: $${\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}$$

Para operadores acotados en${\displaystyle V}$Esto implica que la multiplicación de operadores es conjuntamente continua.

De la definición se deduce que si una sucesión de operadores converge en norma de operador, converge uniformemente en conjuntos acotados.

Al elegir diferentes normas para el codominio, utilizadas en computación${\displaystyle \|Av\|}$y el dominio, utilizado en computación${\displaystyle \|v\|}$, obtenemos diferentes valores para la norma del operador. Algunas normas de operador comunes son fáciles de calcular, y otras son NP-difíciles . Excepto para las normas NP-difíciles, todas estas normas se pueden calcular en${\displaystyle N^{2}}$operaciones (para un${\displaystyle N\times N}$matriz), con la excepción de la${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$norma (que requiere${\displaystyle N^{3}}$operaciones para obtener la respuesta exacta, o menos si se aproxima con el método de potencia o las iteraciones de Lanczos ).

La norma del adjunto o transpuesto se puede calcular de la siguiente manera. Tenemos que para cualquier${\displaystyle p,q,}$entonces${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$dónde${\displaystyle p',q'}$son conjugados de Hölder a${\displaystyle p,q,}$eso es,${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$y${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Suponer${\displaystyle H}$es un espacio de Hilbert real o complejo . Si${\displaystyle A:H\to H}$es un operador lineal acotado, entonces tenemos $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}$$ y $${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}$$ dónde${\displaystyle A^{*}}$denota el operador adjunto de${\displaystyle A}$(que en espacios euclidianos con el producto interno estándar corresponde a la transpuesta conjugada de la matriz${\displaystyle A}$).

En general, el radio espectral de${\displaystyle A}$está acotado superiormente por la norma del operador de${\displaystyle A}$: $${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}$$

Para ver por qué la igualdad no siempre se cumple, consideremos la forma canónica de Jordan de una matriz en el caso de dimensión finita. Debido a que hay entradas no nulas en la superdiagonal, la igualdad puede violarse. Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos. Un operador cuasinilpotente no nulo${\displaystyle A}$tiene espectro${\displaystyle \{0\}.}$Entonces${\displaystyle \rho (A)=0}$mientras${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}$

Sin embargo, cuando una matriz${\displaystyle N}$es normal , su forma canónica de Jordan es diagonal (salvo equivalencia unitaria); este es el teorema espectral . En ese caso es fácil ver que $${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}$$

Esta fórmula se puede utilizar a veces para calcular la norma del operador de un operador acotado dado.${\displaystyle A}$: define el operador hermitiano${\displaystyle B=A^{*}A,}$determinar su radio espectral y tomar la raíz cuadrada para obtener la norma del operador de${\displaystyle A.}$

El espacio de operadores acotados en${\displaystyle H,}$con la topología inducida por la norma del operador, no es separable . Por ejemplo, considérese el espacio Lp.${\displaystyle L^{2}[0,1],}$que es un espacio de Hilbert. Para${\displaystyle 0<t\leq 1,}$dejar${\displaystyle \Omega _{t}}$sea ​​la función característica de${\displaystyle [0,t],}$y${\displaystyle P_{t}}$sea ​​el operador de multiplicación dado por${\displaystyle \Omega _{t},}$eso es, $${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

Then each ${\displaystyle P_{t}}$ is a bounded operator with operator norm 1 and $${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

But ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ is an uncountable set. This implies the space of bounded operators on ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ is not separable, in operator norm. One can compare this with the fact that the sequence space ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ is not separable.

The associative algebra of all bounded operators on a Hilbert space, together with the operator norm and the adjoint operation, yields a C*-algebra.

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