Distribución normal-de Wishart

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución normal-Wishart (o distribución gaussiana-Wishart ) es una familia multivariante de cuatro parámetros de distribuciones de probabilidad continuas . Es la distribución a priori conjugada de una distribución normal multivariante con media desconocida y matriz de precisión (la inversa de la matriz de covarianza ). ^{[ 1 ]}

Suponer

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}$

tiene una distribución normal multivariada con media${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$y matriz de covarianza${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$, dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

tiene una distribución de Wishart .${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})}$ tiene una distribución normal-Wishart, denotada como

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda,\mathbf {W},\nu ).}$

Después de hacer${\displaystyle n}$observaciones${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$, la distribución posterior de los parámetros es

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _ {n},\mathbf {W} _{n},\nu _{n}),}$

dónde

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\lambda +n}},}$

${\displaystyle \nu _ {n}=\nu +n,}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.}$^{[ 2 ]}

La generación de variables aleatorias es sencilla:

1. Muestra${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$de una distribución de Wishart con parámetros${\displaystyle \mathbf {W} }$y${\displaystyle \nu }$
2. Muestra${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$de una distribución normal multivariada con media${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$y varianza${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

• La distribución normal inversa de Wishart es esencialmente la misma distribución, parametrizada por la varianza en lugar de la precisión.
• La distribución normal-gamma es el equivalente unidimensional.
• La distribución normal multivariada y la distribución de Wishart son las distribuciones componentes a partir de las cuales se construye esta distribución.

• Bishop, Christopher M. (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático. Springer Science+Business Media.