Elemento normal

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama normal si conmuta con su adjunto. ^{[ 1 ]}

Definición

Dejar ${\mathcal {A}}$ ser un *-álgebra. Un elemento $a\in {\mathcal {A}}$ se denomina normal si conmuta con $a^{*}$ , es decir, satisface la ecuación $aa^{*}=a^{*}a$ . ^{[ 1 ]}

El conjunto de elementos normales se denota por ${\mathcal {A}}_{N}$ o $N({\mathcal {A}})$ .

Un caso especial de particular importancia es el caso en el que ${\mathcal {A}}$ es un *-álgebra normada completa , que satisface la identidad C* ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$ ), que se denomina álgebra C* .

Ejemplos

Todo elemento autoadjunto de aa *-álgebra es normal. ^{[ 1 ]}
Todo elemento unitario de aa *-álgebra es normal. ^{[ 2 ]}
Si ${\mathcal {A}}$ es un C*-Álgebra y $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ un elemento normal, entonces para cada función continua $f$ en el espectro de $a$ El cálculo funcional continuo define otro elemento normal. $f(a)$ . ^{[ 3 ]}

Criterios

Dejar ${\mathcal {A}}$ Sea un *-álgebra. Entonces:

Un elemento $a\in {\mathcal {A}}$ es normal si y solo si la subálgebra *- generada por $a$ , lo que significa el *-álgebra más pequeño que contiene $a$ , es conmutativa. ^{[ 2 ]}
Cada elemento $a\in {\mathcal {A}}$ puede descomponerse de forma única en una parte real y una parte imaginaria , lo que significa que existen elementos autoadjuntos. $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$ , de tal manera que $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$ , dónde $\mathrm {i}$ denota la unidad imaginaria . Exactamente entonces $a$ es normal si $a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}$ , es decir, la parte real y la parte imaginaria conmutan. ^{[ 1 ]}

Propiedades

En *-álgebras

Dejar $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ser un elemento normal de un *-álgebra ${\mathcal {A}}$ . Entonces:

El elemento adjunto $a^{*}$ también es normal, ya que $a=(a^{*})^{*}$ se cumple para la involución *. ^{[ 4 ]}

En álgebras C*

Dejar $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ser un elemento normal de un álgebra C* ${\mathcal {A}}$ . Entonces:

Es $\left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}$ , ya que para elementos normales se utiliza la identidad C* $\left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}$ sostiene. ^{[ 5 ]}
Cada elemento normal es un elemento normaloide, es decir, el radio espectral $r(a)$ iguala la norma de $a$ , es decir $r(a)=\left\|a\right\|$ . ^{[ 6 ]} Esto se deduce de la fórmula del radio espectral mediante la aplicación repetida de la propiedad anterior. ^{[ 7 ]}
Se puede desarrollar un cálculo funcional continuo que, en pocas palabras, permite la aplicación de funciones continuas en el espectro de $a$ a $a$ . ^{[ 3 ]}

Véase también

Notas

1 2 3 4 Dixmier 1977 , pág. 4.
1 2 Dixmier 1977 , pág. 5.
1 2 Dixmier 1977 , pág. 13.
↑ Dixmier 1977 , págs. 3–4.
↑ Werner 2018 , pág. 518.
↑ Heuser 1982 , pág. 390.
↑ Werner 2018 , págs. 284–285, 518.

Referencias

Dixmier, Jacques (1977). Álgebras C* . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
Heuser, Harro (1982). Análisis funcional . Traducido por Horvath, John. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 0-471-10069-2.
Werner, Dirk (2018). Análisis funcional (en alemán) (8 ed.). Saltador. ISBN 978-3-662-55407-4.

[FOOTNOTEDixmier19774-1] 1 2 3 4 Dixmier 1977 , pág. 4.

[FOOTNOTEDixmier19775-2] 1 2 Dixmier 1977 , pág. 5.

[FOOTNOTEDixmier197713-3] 1 2 Dixmier 1977 , pág. 13.

[FOOTNOTEDixmier19773–4-4] Dixmier 1977 , págs. 3–4.

[FOOTNOTEWerner2018518-5] Werner 2018 , pág. 518.

[FOOTNOTEHeuser1982390-6] Heuser 1982 , pág. 390.

[FOOTNOTEWerner2018284–285,_518-7] Werner 2018 , págs. 284–285, 518.

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