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En matemáticas e informática , una forma canónica , normal o estándar de un objeto matemático es una manera estándar de presentar dicho objeto como una expresión matemática . A menudo, es la que proporciona la representación más simple de un objeto y permite identificarlo de forma unívoca. La distinción entre formas "canónicas" y "normales" varía según el subcampo. En la mayoría de los campos, una forma canónica especifica una representación única para cada objeto, mientras que una forma normal simplemente especifica su forma, sin exigir unicidad. [ 1 ]
La forma canónica de un entero positivo en representación decimal es una secuencia finita de dígitos que no comienza con cero. De forma más general, para una clase de objetos sobre los que se define una relación de equivalencia , una forma canónica consiste en la elección de un objeto específico dentro de cada clase. Por ejemplo:
- La forma normal de Jordan es una forma canónica para la similitud de matrices .
- La forma escalonada por filas es una forma canónica, cuando se considera equivalente una matriz y su producto izquierdo por una matriz invertible .
En informática, y más específicamente en álgebra computacional , al representar objetos matemáticos en una computadora, generalmente existen muchas maneras diferentes de representar un mismo objeto. En este contexto, una forma canónica es una representación tal que cada objeto tiene una representación única (siendo la canonización el proceso mediante el cual una representación se convierte en su forma canónica). [ 2 ] Por lo tanto, la igualdad de dos objetos se puede comprobar fácilmente comparando la igualdad de sus formas canónicas.
A pesar de esta ventaja, las formas canónicas suelen depender de elecciones arbitrarias (como el orden de las variables), lo que dificulta la comprobación de la igualdad de dos objetos que resultan en cálculos independientes. Por lo tanto, en álgebra computacional, la forma normal es un concepto más débil: una forma normal es una representación tal que el cero se representa de forma única. Esto permite comprobar la igualdad expresando la diferencia de dos objetos en forma normal.
La forma canónica también puede referirse a una forma diferencial que se define de manera natural (canónica).
Definición
Dado un conjunto S de objetos con una relación de equivalencia R sobre S , una forma canónica se define designando algunos objetos de S como "en forma canónica", de modo que cada objeto considerado sea equivalente a un único objeto en forma canónica. En otras palabras, las formas canónicas en S representan las clases de equivalencia una sola vez. Para comprobar si dos objetos son equivalentes, basta con comprobar la igualdad en sus formas canónicas. Una forma canónica proporciona, por lo tanto, un teorema de clasificación y mucho más, ya que no solo clasifica cada clase, sino que también proporciona un representante distinguido (canónico) para cada objeto de la clase.
Formalmente, una canonización con respecto a una relación de equivalencia R en un conjunto S es una aplicación c : S → S tal que para todo s , s 1 , s 2 ∈ S :
- c ( s ) = c ( c ( s )) ( idempotencia ),
- s 1 R s 2 si y solo si c ( s 1 ) = c ( s 2 ) (decisividad), y
- s R c ( s ) (representatividad).
La propiedad 3 es redundante; se deduce aplicando 2 a 1.
En términos prácticos, suele ser ventajoso poder reconocer las formas canónicas. También hay una cuestión práctica y algorítmica que considerar: ¿cómo pasar de un objeto dado s en S a su forma canónica s *? Las formas canónicas se utilizan generalmente para hacer más eficaz el trabajo con clases de equivalencia. Por ejemplo, en aritmética modular , la forma canónica para una clase de residuo se suele tomar como el menor entero no negativo en ella. Las operaciones sobre clases se realizan combinando estos representantes y luego reduciendo el resultado a su menor residuo no negativo. El requisito de unicidad a veces se relaja, permitiendo que las formas sean únicas salvo alguna relación de equivalencia más fina, como permitir la reordenación de términos (si no hay un orden natural en los términos).
Una forma canónica puede ser simplemente una convención o un teorema profundo. Por ejemplo, los polinomios se escriben convencionalmente con los términos en potencias descendentes: es más común escribir x² + x + 30 que x + 30 + x² , aunque ambas formas definen el mismo polinomio. En cambio, la existencia de la forma canónica de Jordan para una matriz es un teorema profundo.
Historia
Según OED y LSJ , el término canónico proviene de la palabra griega antigua kanonikós ( κανονικός , "regular, según la regla") de kanṓn ( κᾰνών , "vara, regla"). El sentido de norma , estándar o arquetipo se ha utilizado en muchas disciplinas. El uso matemático está atestiguado en una carta de 1738 de Logan . [ 3 ] El término alemán kanonische Form está atestiguado en un artículo de 1846 de Eisenstein , [ 4 ] más tarde ese mismo año Richelot usa el término Normalform en un artículo, [ 5 ] y en 1851 Sylvester escribe: [ 6 ]
"Ahora procedo a [...] el modo de reducir las funciones algebraicas a sus formas más simples y simétricas, o como mi admirable amigo M. Hermite propone llamarlas, sus formas canónicas ."
En el mismo período, el uso está atestiguado por Hesse ("forma normal"), [ 7 ] Hermite ("forma canónica"), [ 8 ] Borchardt ("forma canónica"), [ 9 ] y Cayley ("forma canónica"). [ 10 ]
En 1865, el Diccionario de Ciencia, Literatura y Arte define la forma canónica como:
"En matemáticas, denota una forma, generalmente la más simple o la más simétrica, a la cual, sin pérdida de generalidad, se pueden reducir todas las funciones de la misma clase."
Ejemplos
Nota: en esta sección, " hasta " alguna relación de equivalencia E significa que la forma canónica no es única en general, pero que si un objeto tiene dos formas canónicas diferentes, son E-equivalentes.
Notación de números grandes
Muchos matemáticos y científicos utilizan la notación estándar para escribir números extremadamente grandes de una manera más concisa y comprensible, siendo la notación científica la más destacada . [ 11 ]
teoría de números
- Representación canónica de un número entero positivo
- La forma canónica de una fracción continua para representar un número es la fracción continua simple.
Álgebra lineal
Álgebra
Geometría
En geometría analítica :
- La ecuación de una recta: Ax + By = C , con A² + B² = 1 y C ≥ 0
- La ecuación de un círculo:
Por el contrario, existen formas alternativas para escribir ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación de una recta puede escribirse como una ecuación lineal en forma de punto-pendiente y pendiente-ordenada al origen .
Los poliedros convexos pueden expresarse en forma canónica de tal manera que:
- Todas las caras son planas,
- Todas las aristas son tangentes a la esfera unitaria, y
- El centroide del poliedro está en el origen. [ 12 ]
Sistemas integrables
Toda variedad diferenciable posee un fibrado cotangente . Dicho fibrado siempre puede dotarse de una forma diferencial específica , denominada forma canónica . Esta forma confiere al fibrado cotangente la estructura de una variedad simpléctica y permite integrar campos vectoriales en la variedad mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange o mediante la mecánica hamiltoniana . Estos sistemas de ecuaciones diferenciales integrables se denominan sistemas integrables .
Sistemas dinámicos
El estudio de los sistemas dinámicos se solapa con el de los sistemas integrables ; allí se tiene la idea de una forma normal (sistemas dinámicos) .
Geometría tridimensional
En el estudio de variedades en tres dimensiones, se tiene la primera forma fundamental , la segunda forma fundamental y la tercera forma fundamental .
Análisis funcional
Lógica clásica
- Negación en forma normal
- forma normal conjuntiva
- Forma normal disyuntiva
- Forma normal algebraica
- Forma normal de Prenex
- Forma normal de Skolem
- Forma canónica de Blake , también conocida como suma completa de implicantes primos, suma completa o forma prima disyuntiva.
teoría de conjuntos
teoría de juegos
Teoría de la demostración
Sistemas de reescritura
La manipulación simbólica de una fórmula para transformarla en otra forma se denomina «reescritura» de dicha fórmula. Es posible estudiar las propiedades abstractas de la reescritura de fórmulas genéricas mediante el análisis del conjunto de reglas que permiten su manipulación válida. Estas son las «reglas de reescritura», parte integral de un sistema de reescritura abstracto . Una pregunta frecuente es si es posible reducir una expresión genérica a una única forma común, la forma normal. Si distintas secuencias de reescrituras dan como resultado la misma forma, entonces dicha forma se denomina forma normal, y la reescritura se llama confluente. No siempre es posible obtener una forma normal.
Cálculo lambda
- Un término lambda está en forma normal beta si no es posible ninguna reducción beta; el cálculo lambda es un caso particular de un sistema de reescritura abstracto. En el cálculo lambda sin tipos, por ejemplo, el términono tiene una forma normal. En el cálculo lambda tipado, cada término bien formado puede reescribirse a su forma normal.
teoría de grafos
En la teoría de grafos , una rama de las matemáticas, la canonización de grafos es el problema de encontrar una forma canónica de un grafo G dado . Una forma canónica es un grafo etiquetado Canon( G ) que es isomorfo a G , de tal manera que todo grafo isomorfo a G tiene la misma forma canónica que G. Por lo tanto, a partir de una solución al problema de la canonización de grafos, también se podría resolver el problema del isomorfismo de grafos : para comprobar si dos grafos G y H son isomorfos, se calculan sus formas canónicas Canon( G ) y Canon( H ), y se comprueba si estas dos formas canónicas son idénticas.
Computación
En informática , la reducción de datos a cualquier tipo de forma canónica se denomina comúnmente normalización de datos .
Por ejemplo, la normalización de bases de datos es el proceso de organizar los campos y tablas de una base de datos relacional para minimizar la redundancia y la dependencia. [ 13 ]
En el ámbito de la seguridad del software , una vulnerabilidad común es la entrada maliciosa sin control (véase Inyección de código ). La solución a este problema es la validación adecuada de la entrada . Antes de realizar la validación, la entrada se normaliza eliminando la codificación (por ejemplo, la codificación HTML ) y reduciendo los datos de entrada a un único conjunto de caracteres común .
Otros tipos de datos, normalmente asociados al procesamiento de señales (incluidos audio e imágenes ) o al aprendizaje automático , pueden normalizarse para proporcionar un rango limitado de valores.
En la gestión de contenidos , el concepto de fuente única de verdad (SSOT, por sus siglas en inglés) es aplicable, al igual que en la normalización de bases de datos en general y en el desarrollo de software . Los sistemas de gestión de contenidos competentes proporcionan formas lógicas de obtenerla, como la transclusión .
Véase también
Notas
- ↑ En algunas ocasiones, los términos "canónico" y "normal" también pueden usarse indistintamente, como en la forma canónica de Jordan y la forma normal de Jordan (ver forma normal de Jordan en MathWorks ).
- ↑ El término "canonización" se utiliza a veces incorrectamente para esto.
- ↑ Carta de James Logan a William Jones, Correspondencia de científicos del siglo XVII . Prensa universitaria. 1841. ISBN 978-1-02-008678-6.
{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) - ↑ "Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846" . de Gruyter.
- ↑ Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 . de Gruyter.
- ↑ "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1851" . Macmillan.
- ↑ Hesse, Otto (1865). "Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene" (en alemán). Teubner.
- ↑ "The Cambridge and Dublin mathematical journal 1854" . 1854.
- ↑ "Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1854" . de Gruyter.
- ↑ Cayley, Arthur (1889). The Collected Mathematical Papers . University. ISBN 978-1-4181-8586-2.
{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) - ↑ "Números grandes y notación científica" . Enseñanza de la alfabetización cuantitativa . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
- ↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, pp. 117–118 , ISBN 0-387-94365-X
- ↑ "Descripción de los fundamentos de la normalización de bases de datos" . support.microsoft.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
Referencias
- Álgebra
- Conceptos de lógica
- Terminología matemática
- Formalismo (deductivo)