Función normal

En la teoría de conjuntos axiomáticos , una función f  : Ord → Ord se denomina normal (o función normal ) si es continua (con respecto a la topología de orden ) y estrictamente monótonamente creciente . Esto es equivalente a las dos condiciones siguientes:

1. Para cada ordinal límite γ (es decir, γ no es ni cero ni un sucesor ), se cumple que f  ( γ ) = sup { f  ( ν ) : ν < γ } .
2. Para todos los ordinales α < β , se da el caso de que f  ( α ) < f  ( β ) .

Una función normal simple está dada por f  ( α ) = 1 + α (ver aritmética ordinal ). Pero f  ( α ) = α + 1 no es normal porque no es continua en ningún ordinal límite; es decir, la imagen inversa del conjunto abierto de un punto { λ + 1} es el conjunto { λ } , que no es abierto cuando λ es un ordinal límite. Si β es un ordinal fijo, entonces las funciones f  ( α ) = β + α , f  ( α ) = β × α (para β ≥ 1 ), y f  ( α ) = β ^α (para β ≥ 2 ) son todas normales.

Ejemplos más importantes de funciones normales los dan los números aleph , que conectan números ordinales y cardinales , y los números beth . ${\displaystyle f(\alpha )=\aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle f(\alpha )=\beth _{\alpha }}$

Si f es normal, entonces para cualquier ordinal α ,

f  ( α ) ≥ α . ^[1]

Demostración : Si no, elija γ mínimo tal que f  ( γ ) < γ . Dado que f es estrictamente monótonamente creciente, f  ( f  ( γ )) < f  ( γ ) , contradiciendo la minimalidad de γ .

Además, para cualquier conjunto no vacío S de ordinales, tenemos

f  (sup S ) = sup f  ( S ) .

Demostración : "≥" se deduce de la monotonía de f y de la definición del supremo . Para " ≤ ", fijemos δ = sup S y consideremos tres casos:

• si δ = 0 , entonces S = {0} y sup f  ( S ) = f  (0) ;
• si δ = ν + 1 es un sucesor, entonces existe s en S con ν < s , de modo que δ ≤ s . Por lo tanto, f  ( δ ) ≤ f  ( s ) , lo que implica f  (δ) ≤ sup f  ( S ) ;
• si δ es un límite distinto de cero, elija cualquier ν < δ , y un s en S tal que ν < s (posible ya que δ = sup S ). Por lo tanto, f  ( ν ) < f  ( s ) de modo que f  ( ν ) < sup f  ( S ) , obteniendo f  ( δ ) = sup { f  (ν) : ν < δ } ≤ sup f  ( S ) , como se desea.

Toda función normal f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes; véase el lema del punto fijo para funciones normales para una prueba. Se puede crear una función normal f ′  : Ord → Ord , llamada derivada de f , tal que f ′ ( α ) es el α -ésimo punto fijo de f . ^[2] Para una jerarquía de funciones normales, véase Funciones de Veblen .