Invariante normal

En matemáticas, un mapa normal es un concepto de topología geométrica debido a William Browder que es de fundamental importancia en la teoría de la cirugía . Dado un complejo de Poincaré X (más geométricamente un espacio de Poincaré ), un mapa normal en X dota al espacio, en términos generales, de parte de la estructura global de la teoría de la homotopía de una variedad cerrada . En particular, X tiene un buen candidato para un fibrado normal estable y un mapa de colapso de Thom , lo que es equivalente a que exista un mapa de una variedad M a X que coincida con las clases fundamentales y preserve la información del fibrado normal. Si la dimensión de X es $\geq$ 5 entonces solo existe la obstrucción de la cirugía de topología algebraica debido a que CTC Wall a X es realmente homotópicamente equivalente a una variedad cerrada. Los mapas normales también se aplican al estudio de la unicidad de las estructuras de variedades dentro de un tipo de homotopía, que fue iniciado por Sergei Novikov .

Las clases de cobordismo de las aplicaciones normales en X se denominan invariantes normales . Dependiendo de la categoría de variedades ( diferenciables , lineales a trozos o topológicas ), existen conceptos de aplicaciones normales e invariantes normales definidos de forma similar, pero no equivalentes.

Es posible realizar cirugía en mapas normales, es decir, cirugía en la variedad del dominio, y preservar el mapa. La cirugía en mapas normales permite eliminar sistemáticamente elementos en los grupos de homotopía relativa representándolos como incrustaciones con fibrado normal trivial .

Definición

Existen dos definiciones equivalentes de mapas normales, dependiendo de si se utilizan haces normales o haces tangentes de variedades. Por lo tanto, es posible alternar entre ambas definiciones, lo cual resulta bastante conveniente.

Dado un complejo de Poincaré X (es decir, un complejo CW cuyo complejo de cadena celular satisface la dualidad de Poincaré ) de dimensión formal $n$ $n$ , un mapa normal en X consta de
- un mapa $f\colon M\to X$ de alguna variedad cerrada n -dimensional M ,
- un paquete $\xi$ sobre X , y un mapa estable del fibrado normal estable $\nu _{M}$ de $M$ a $\xi$ , y
- Por lo general, se supone que el mapa normal es de grado uno . Eso significa que la clase fundamental de $M$ debe ser mapeado bajo $f$ a la clase fundamental de $X$ : $f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)$ .
Dado un complejo de Poincaré $X$ $X$ de dimensión formal $n$ $n$ , un mapa normal en $X$ $X$ (con respecto al fibrado tangente) consiste en
- un mapa $f\colon M\to X$ de algunos cerrados $n$ variedad dimensional $M$ ,
- un paquete $\xi$ encima $X$ y una aplicación estable del fibrado tangente estable $\tau _{M}\oplus \varepsilon ^{k}$ de $M$ a $\xi$ , y
- De manera similar a lo anterior, se requiere que la clase fundamental de $M$ debe ser mapeado bajo $f$ a la clase fundamental de $X$ : $f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)$ .

Dos mapas normales son equivalentes si existe un borde normal entre ellos.

Papel en la teoría quirúrgica

Cirugía en mapas versus cirugía en mapas normales

Consideremos la siguiente pregunta:

¿ El complejo de Poincaré X de dimensión formal n es homotópicamente equivalente a una n- variedad cerrada?

Un enfoque quirúrgico ingenuo para esta pregunta sería: comenzar con algún mapa $M\to X$ de algún colector $M$ a $X$ y tratar de realizar una cirugía sobre él para convertirlo en una equivalencia homotópica. Nótese lo siguiente: Dado que nuestro mapa inicial fue elegido arbitrariamente, y la cirugía siempre produce mapas cobordantes, este procedimiento debe realizarse (en el peor de los casos) para todas las clases de cobordismo de mapas. $M\to X$ Este tipo de teoría de cobordismo es una teoría de homología cuyos coeficientes han sido calculados por Thom ; por lo tanto, las clases de cobordismo de tales mapas son computables al menos en teoría para todos los espacios. $X$ .

Sin embargo, resulta muy difícil decidir si es posible realizar una equivalencia homotópica a partir del mapa mediante cirugía, mientras que la misma cuestión es mucho más sencilla cuando el mapa viene con la estructura adicional de un mapa normal. Por lo tanto, en el enfoque de cirugía clásico para nuestra cuestión, se parte de un mapa normal. $f\colon M\to X$ (supongamos que existe alguno), y le realiza una cirugía. Esto tiene varias ventajas:

El hecho de que el mapa sea de grado uno implica que la homología de $M$ se divide como una suma directa de la homología de $X$ y el llamado núcleo quirúrgico $K_{*}(M)=ker(f_{*}\colon H_{*}(M)\to H_{*}(X))$ , eso es $H_{*}(M)=K_{*}(M)\oplus H_{*}(X)$ . (Aquí suponemos que $f$ induce un isomorfismo de grupos fundamentales y utiliza la homología con coeficientes locales en $Z[\pi _ {1}(X)]$ .)

Según el teorema de Whitehead , el mapa $f$ es una equivalencia homotópica si y solo si el núcleo de cirugía es cero.

Los datos del paquete implican lo siguiente: Supongamos que un elemento $\alpha \in \pi _{p+1}(f)$ (el grupo de homotopía relativa de $f$ ) puede representarse mediante una incrustación $\phi :S^{p}\to M$ (o más generalmente una inmersión ) con una homotopía nula de $f\circ \phi :S^{p}\to X$ Entonces se puede representar mediante una incrustación (o inmersión) cuyo haz normal es establemente trivial. Esta observación es importante ya que la cirugía solo es posible en incrustaciones con un haz normal trivial. Por ejemplo, si $p$ es menos de la mitad de la dimensión de $X$ , cada mapa $S^{p}\to X$ es homotópico a una incrustación por un teorema de Whitney . Por otro lado, todo fibrado normal establemente trivial de dicha incrustación es automáticamente trivial, ya que $\pi _{p}(BO,BO_{k})=0$ para $k>p$ Por lo tanto, la cirugía en mapas normales siempre se puede realizar por debajo de la dimensión media. Esto no es cierto para mapas arbitrarios.

Nótese que este nuevo enfoque requiere clasificar las clases de bordismo de las aplicaciones normales, que son los invariantes normales. A diferencia de las clases de cobordismo de las aplicaciones, los invariantes normales constituyen una teoría de cohomología . Sus coeficientes se conocen en el caso de variedades topológicas. Para el caso de variedades diferenciables, los coeficientes de la teoría son mucho más complejos.

Invariantes normales frente al conjunto de estructuras

Hay dos razones por las que es importante estudiar el conjunto ${\mathcal {N}}(X)$ Recordemos que el objetivo principal de la teoría quirúrgica es responder a las siguientes preguntas:

1. Dado un complejo de Poincaré finito $X$ ¿Hay un? $n$ -homotopía de variedad equivalente a $X$ ¿

2. Dadas dos equivalencias homotópicas $f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X$ , dónde $i=0,1$ ¿Existe un difeomorfismo? $h\colon M_{0}\rightarrow M_{1}$ de tal manera que $f_{1}\circ h\simeq f_{0}$ ¿

Nótese que si la respuesta a estas preguntas debe ser positiva, entonces es una condición necesaria que la respuesta a las dos preguntas siguientes también lo sea.

1. Dado un complejo de Poincaré finito $X$ ¿Existe un mapa normal de grado uno? $(f,b)\colon M\rightarrow X$ ¿

2.' Dadas dos equivalencias homotópicas $f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X$ , dónde $i=0,1$ ¿Existe un cobordismo normal? $(F,B)\colon (W,M_{0},M_{1})\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)$ de tal manera que $\partial _{0}F=f_{0}$ y $\partial _{1}F=f_{1}$ ¿

Esta es, por supuesto, una observación casi trivial, pero es importante porque resulta que existe una teoría efectiva que responde a la pregunta 1.' y también una teoría efectiva que responde a la pregunta 1. siempre que la respuesta a 1.' sea sí. De manera similar para las preguntas 2. y 2.' Nótese también que podemos formular las preguntas de la siguiente manera:

1.' Es ${\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset$ ¿

2.' Es $f_{0}=f_{1}$ en ${\mathcal {N}}(X)$ ¿

Por lo tanto, estudiar ${\mathcal {N}}(X)$ es realmente un primer paso para tratar de comprender la estructura de la cirugía. ${\mathcal {S}}(X)$ que es el objetivo principal en la teoría quirúrgica. La cuestión es que ${\mathcal {N}}(X)$ es mucho más accesible desde el punto de vista de la topología algebraica, como se explica a continuación.

teoría de la homotopía

1. Sea X un complejo de Poincaré finito n- dimensional. Es útil utilizar la definición de ${\mathcal {N}}(X)$ con fibrados normales. Recordemos que una variedad (lisa) tiene un único fibrado tangente y un único fibrado normal estable. Pero un complejo de Poincaré finito no posee tal fibrado único. Sin embargo, posee un sustituto: una fibración esférica única en cierto sentido, la llamada fibración normal de Spivak. Esta tiene la propiedad de que si $X$ Si es homotópicamente equivalente a una variedad, entonces la fibración esférica asociada al retroceso del fibrado normal de esa variedad es isomorfa a la fibración normal de Spivak. Por lo tanto, se deduce que si ${\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset$ Entonces, la fibración normal de Spivak tiene una reducción de fibrado. Por la construcción de Pontrjagin-Thom, lo contrario también es cierto.

Esto puede formularse en términos de la teoría de la homotopía. Recordemos $BG$ el espacio de clasificación para fibraciones esféricas estables, $BO$ el espacio de clasificación para haces de vectores estables y el mapa $J\colon BO\rightarrow BG$ que es inducida por la inclusión $O\hookrightarrow G$ y que corresponde a tomar la fibración esférica asociada de un fibrado vectorial. De hecho, tenemos una secuencia de fibraciones. $BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)$ La fibración normal de Spivak se clasifica mediante un mapa. $\nu _{X}\colon X\rightarrow BG$ . Tiene una reducción de fibrado vectorial si y solo si $\nu _{X}$ tiene ascensor ${\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO$ Esto equivale a exigir que la composición $X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)$ es homotópico nulo.

Tenga en cuenta que los grupos de homotopía de $B(G/O)$ se conocen en ciertas dimensiones bajas y no son triviales, lo que sugiere la posibilidad de que la condición anterior pueda fallar para algunos. $X$ De hecho, existen tales complejos de Poincaré finitos, y el primer ejemplo fue obtenido por Gitler y Stasheff , lo que dio como resultado un ejemplo de un complejo de Poincaré que no es homotópicamente equivalente a una variedad.

2. Al relativizar las consideraciones anteriores se obtiene una biyección (no natural).

${\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O].$

Diferentes categorías

La biyección anterior da como resultado: ${\mathcal {N}}(X)$ una estructura de un grupo abeliano ya que el espacio $G/O$ es un espacio de lazos y, de hecho, un espacio de lazos infinito, por lo que los invariantes normales son un grupo de cohomología cero de una teoría de cohomología extraordinaria definida por ese espacio de lazos infinito. Nótese que ideas similares se aplican en las otras categorías de variedades y se tienen biyecciones.

{\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]

, y

{\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]

, y

{\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].

Es bien sabido que los espacios

G/O

,

G/PL

y

G/TOP

no son mutuamente equivalentes en términos de homotopía y, por lo tanto, se obtienen tres teorías de cohomología diferentes.

Sullivan analizó los casos $G/PL$ y $G/TOP$ Demostró que estos espacios poseen estructuras alternativas de espacio de bucle infinito que, de hecho, son mejores desde el siguiente punto de vista: Recordemos que existe un mapa de obstrucción quirúrgica de los invariantes normales al grupo L. Con la estructura de grupos descrita anteriormente en los invariantes normales, este mapa NO es un homomorfismo. Sin embargo, con la estructura de grupo del teorema de Sullivan, se convierte en un homomorfismo en las categorías. $CAT=PL$ , y $TOP$ Su teorema también vincula estas nuevas estructuras de grupo con las conocidas teorías de cohomología: la cohomología singular y la teoría K real.

Referencias

Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conexas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0358813
Gitler, Samule; Stasheff, James D. (noviembre de 1965), "La primera clase exótica de BF", Topology , 4 (3): 257– 266, doi : 10.1016/0040-9383(65)90010-8
Lück, Wolfgang (2002), Introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "Teoría de variedades de alta dimensión" en Trieste, mayo/junio de 2001, Centro Internacional Abdus Salam de Física Teórica, Trieste 1-224
Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886 , doi : 10.1093/acprof:oso/9780198509240.001.0001 , ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
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