Operador normal

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un operador normal en un espacio de Hilbert complejo${\displaystyle H}$es un operador lineal continuo${\displaystyle N\colon H\rightarrow H}$que conmuta con su adjunto hermitiano${\displaystyle N^{\ast }}$, eso es:${\displaystyle N^{\ast }N=NN^{\ast }}$. ^{[ 1 ]}

Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. La clase de operadores normales se comprende bien. Ejemplos de operadores normales son:

• operadores unitarios :${\displaystyle U^{\ast }=U^{-1}}$
• Operadores hermíticos (es decir, operadores autoadjuntos):${\displaystyle N^{\ast }=N}$
• operadores antihermíticos :${\displaystyle N^{\ast }=-N}$
• operadores positivos :${\displaystyle N=M^{\ast }M}$para algunos${\displaystyle M}$(por lo tanto, N es autoadjunto).

Una matriz normal es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Los operadores normales se caracterizan por el teorema espectral . Un operador normal compacto (en particular, un operador normal en un espacio con producto interno de dimensión finita ) es diagonalizable unitariamente . ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle T}$sea ​​un operador acotado. Los siguientes son equivalentes.

• ${\displaystyle T}$es normal.
• ${\displaystyle T^{\ast }}$es normal.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{\ast }x\|}$a pesar de${\displaystyle x}$(usar${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{\ast }Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{\ast }x\|^{2}}$).
• Las partes autoadjunta y anti-autoadjunta de${\displaystyle T}$desplazamiento diario. Es decir, si${\displaystyle T}$se escribe como${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$con${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$y${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {TT^{*}}{2}},}$entonces${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$^{[ nota 1 ]}

Si${\displaystyle N}$es un operador normal acotado, entonces${\displaystyle N}$y${\displaystyle N^{*}}$tienen el mismo núcleo y el mismo rango. En consecuencia, el rango de${\displaystyle N}$es denso si y solo si${\displaystyle N}$es inyectivo. Dicho de otro modo, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su rango. De ello se deduce que el núcleo del operador${\displaystyle N^{k}}$coincide con el de${\displaystyle N}$para cualquier${\displaystyle k.}$Por lo tanto, cada autovalor generalizado de un operador normal es genuino.${\displaystyle \lambda }$es un valor propio de un operador normal${\displaystyle N}$si y solo si su conjugado complejo${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$es un valor propio de${\displaystyle N^{*}.}$Los autovectores de un operador normal que corresponden a autovalores diferentes son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus autoespacios. ^{[ 3 ]} Esto implica el teorema espectral usual: todo operador normal en un espacio de dimensión finita es diagonalizable por un operador unitario. También existe una versión de dimensión infinita del teorema espectral expresada en términos de medidas con valores de proyección . El espectro residual de un operador normal es vacío. ^{[ 3 ]}

El producto de operadores normales que conmutan es nuevamente normal; esto no es trivial, pero se deduce directamente del teorema de Fuglede , que establece (en una forma generalizada por Putnam):

Si${\displaystyle N_{1}}$y${\displaystyle N_{2}}$son operadores normales y si${\displaystyle A}$es un operador lineal acotado tal que${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$entonces${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$.

La norma de un operador normal es igual a su radio numérico y su radio espectral .

Un operador normal coincide con su transformación de Aluthge .

Si un operador normal T en un espacio de Hilbert real o complejo de dimensión finita (espacio con producto interno) H estabiliza un subespacio V , entonces también estabiliza su complemento ortogonal V⊥ ^. (Esta afirmación es trivial en el caso en que T sea autoadjunto).

Demostración. Sea P _V la proyección ortogonal sobre V. Entonces la proyección ortogonal sobre V ^⊥ es 1 _H − P _V . El hecho de que T estabilice V se puede expresar como ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0, o TP _V = P _V TP _V . El objetivo es demostrar que P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Sea X = P _V T ( 1 _H − P _V ). Dado que ( A , B ) ↦ tr( AB* ) es un producto interno en el espacio de endomorfismos de H , basta con demostrar que tr( XX* ) = 0. Primero se observa que

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

Ahora, utilizando las propiedades de la traza y de las proyecciones ortogonales, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{utilizando la hipótesis de que }}T{\text{ estabiliza }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

El mismo argumento se aplica a los operadores normales compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde se utiliza el producto interno de Hilbert-Schmidt , definido por tr( AB* ) adecuadamente interpretado. ^{[ 4 ]} Sin embargo, para operadores normales acotados, el complemento ortogonal a un subespacio estable puede no ser estable. ^{[ 5 ]} De ello se deduce que el espacio de Hilbert no puede, en general, ser generado por los autovectores de un operador normal. Consideremos, por ejemplo, el desplazamiento bilateral (o desplazamiento de dos lados) que actúa sobre${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$, lo cual es normal, pero no tiene valores propios.

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por el teorema de Beurling .

La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Un elemento${\displaystyle x}$Se dice que un álgebra involutiva es normal si${\displaystyle x^{\ast }x=xx^{\ast }}$.

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando dicha álgebra es un álgebra C* .

La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores no acotados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado N es normal si

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Aquí, la existencia del adjunto N* requiere que el dominio de N sea denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de N*N es igual al de NN* , lo cual no es necesariamente el caso en general.

Los operadores normales equivalentes son precisamente aquellos para los que ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

con

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

El teorema espectral sigue siendo válido para operadores no acotados (normales). Las demostraciones se realizan mediante reducción a operadores acotados (normales). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El éxito de la teoría de operadores normales dio lugar a varios intentos de generalización mediante el debilitamiento del requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión):

• Operadores hiponormales
• Normaloides
• operadores paranormales
• operadores cuasinormales
• operadores subnormales

• Operador lineal continuo : función entre espacios vectoriales topológicos 
• Contracción (teoría de operadores) – Operadores acotados con norma subunitaria