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Articulo de referencia

Orden normal

En la teoría cuántica de campos, se suele decir que un producto de campos cuánticos, o equivalentemente sus operadores de creación y aniquilación , está ordenado normalmente (ta...

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En la teoría cuántica de campos, se suele decir que un producto de campos cuánticos, o equivalentemente sus operadores de creación y aniquilación , está ordenado normalmente (también llamado orden Wick ) cuando todos los operadores de creación se encuentran a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en el producto. El proceso de ordenar un producto normalmente se denomina ordenación normal (también llamada ordenación Wick ). Los términos ordenación antinormal y ordenación antinormal se definen de forma análoga, donde los operadores de aniquilación se colocan a la izquierda de los operadores de creación.

El ordenamiento normal de un producto de campos cuánticos u operadores de creación y aniquilación también puede definirse de muchas otras maneras . La definición más apropiada depende de los valores esperados necesarios para un cálculo dado. La mayor parte de este artículo utiliza la definición más común de ordenamiento normal, tal como se presentó anteriormente, la cual es apropiada al tomar valores esperados utilizando el estado de vacío de los operadores de creación y aniquilación .

El proceso de ordenamiento normal es particularmente importante para un hamiltoniano cuántico . Al cuantizar un hamiltoniano clásico , existe cierta libertad al elegir el orden de los operadores, y estas elecciones dan lugar a diferencias en la energía del estado fundamental . Por ello, este proceso también puede utilizarse para eliminar la energía de vacío infinita de un campo cuántico.

Notación

SiO^{\displaystyle {\hat {O}}}denota un producto arbitrario de operadores de creación y/o aniquilación (o equivalentemente, campos cuánticos), entonces la forma ordenada normal deO^{\displaystyle {\hat {O}}}se denota por:O^:{\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}.

Una notación alternativa esnorte(O^){\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}.

Cabe destacar que el ordenamiento normal es un concepto que solo tiene sentido para productos de operadores. Intentar aplicar el ordenamiento normal a una suma de operadores no resulta útil, ya que el ordenamiento normal no es una operación lineal.

bosones

Los bosones son partículas que satisfacen la estadística de Bose-Einstein . A continuación, examinaremos el orden normal de los productos de los operadores de creación y aniquilación bosónica.

bosones individuales

Si partimos de un solo tipo de bosón, hay dos operadores de interés:

  • b^†{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}: el operador de creación del bosón.
  • b^{\displaystyle {\hat {b}}}: el operador de aniquilación del bosón.

Estas satisfacen la relación del conmutador

[b^†,b^†]−=0{\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}
[b^,b^]−=0{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}
[b^,b^†]−=1{\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}

dónde[A,B]−≡AB−BA{\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}denota el conmutador . Podemos reescribir el último como:b^b^†=b^†b^+1.{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}

Ejemplos

1. Primero consideraremos el caso más simple. Este es el orden normal deb^†b^{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}:

:b^†b^:=b^†b^.{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}

La expresiónb^†b^{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}no se ha modificado porque ya está en orden normal - el operador de creación(b^†){\displaystyle ({\hat {b}}^{\dagger })}ya está a la izquierda del operador de aniquilación(b^){\displaystyle ({\hat {b}})}.

2. Un ejemplo más interesante es el ordenamiento normal deb^b^†{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}:

:b^b^†:=b^†b^.{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}

Aquí, la operación de pedido normal ha reordenado los términos colocandob^†{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}a la izquierda deb^{\displaystyle {\hat {b}}}.

Estos dos resultados pueden combinarse con la relación de conmutación que cumpleb^{\displaystyle {\hat {b}}}yb^†{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}Llegar

b^b^†=b^†b^+1=:b^b^†:+1.{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.}

o

b^b^†−:b^b^†:=1.{\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}

Esta ecuación se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

3. Un ejemplo con múltiples operadores es:

:b^†b^b^b^†b^b^†b^:=b^†b^†b^†b^b^b^b^=(b^†)3b^4.{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}

4. Un ejemplo sencillo muestra que el orden normal no puede extenderse linealmente desde los monomios a todos los operadores de forma autoconsistente. Supongamos que podemos aplicar las relaciones de conmutación para obtener:

:b^b^†:=:1+b^†b^:.{\displaystyle {:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.}

Entonces, por linealidad,

:1+b^†b^:=:1:+:b^†b^:=1+b^†b^≠b^†b^=:b^b^†:,{\displaystyle {:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},}

una contradicción.

La implicación es que el ordenamiento normal no es una función lineal sobre los operadores, sino sobre el álgebra libre generada por los operadores, es decir, los operadores no satisfacen las relaciones de conmutación canónicas mientras están dentro del ordenamiento normal (o cualquier otro operador de ordenamiento como el ordenamiento temporal , etc.).

múltiples bosones

Si ahora consideramosnorte{\displaystyle N}diferentes bosones hay2norte{\displaystyle 2N}operadores:

  • b^i†{\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}: elith{\displaystyle i^{th}}operador de creación de bosones.
  • b^i{\displaystyle {\sombrero {b}}_{i}}: elith{\displaystyle i^{th}}operador de aniquilación de bosones.

Aquíi=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,N}.

Estas satisfacen las relaciones de conmutación:

[b^i†,b^j†]−=0{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}
[b^i,b^j]−=0{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}
[b^i,b^j†]−=δij{\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}

dóndei,j=1,…,norte{\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}yδij{\displaystyle \delta _{ij}}denota el delta de Kronecker .

Estos pueden reescribirse como:

b^i†b^j†=b^j†b^i†{\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}
b^ib^j=b^jb^i{\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}
b^ib^j†=b^j†b^i+δij.{\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}

Ejemplos

1. Para dos bosones diferentes (norte=2{\displaystyle N=2}) tenemos

:b^1†b^2:=b^1†b^2{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}
:b^2b^1†:=b^1†b^2{\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}

2. Para tres bosones diferentes (norte=3{\displaystyle N=3}) tenemos

:b^1†b^2b^3:=b^1†b^2b^3{\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}

Nótese que puesto que (por las relaciones de conmutación)b^2b^3=b^3b^2{\displaystyle {\sombrero {b}}_{2}\,{\sombrero {b}}_{3}={\sombrero {b}}_{3}\,{\sombrero {b}}_{2}}El orden en que escribimos los operadores de aniquilación no importa.

:b^2b^1†b^3:=b^1†b^2b^3{\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}
:b^3b^2b^1†:=b^1†b^2b^3{\displaystyle :{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}

Funciones de operador bosónico

Ordenación normal de las funciones de operadores bosónicosF(norte^){\displaystyle f({\hat {n}})}, con operador de número de ocupaciónnorte^=b^norte^†b^{\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}, se puede lograr utilizando potencias factoriales (decrecientes)norte^k_=norte^(norte^−1)⋯(norte^−k+1){\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}y la serie de Newton en lugar de la serie de Taylor : Es fácil demostrar [ 1 ] que las potencias factorialesnorte^k_{\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}son iguales a potencias ordenadas normalmente (brutas)norte^k{\displaystyle {\sombrero {n}}^{k}}y por lo tanto están ordenados normalmente por construcción,

norte^k_=b^norte^†kb^norte^k=:norte^k:,{\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}

de tal manera que la expansión de la serie de Newton

F~(norte^)=∑k=0∞ΔnortekF~(0)norte^k_k¡{\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}

de una función de operadorF~(norte^){\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}, conk{\displaystyle k}-ª diferencia hacia adelanteΔnortekF~(0){\displaystyle \Delta _ {n}^{k}{\tilde {f}}(0)}ennorte=0{\displaystyle n=0}, siempre está ordenado normalmente. Aquí, la ecuación de valores propiosnorte^|norte⟩=norte|norte⟩{\displaystyle {\sombrero {n}}|n\rangle =n|n\rangle }relacionanorte^{\displaystyle {\hat {n}}}ynorte{\displaystyle n}.

Como consecuencia, la serie de Taylor ordenada normalmente de una función arbitrariaF(norte^){\displaystyle f({\hat {n}})}es igual a la serie de Newton de una función asociadaF~(norte^){\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}, cumpliendo

F~(norte^)=:F(norte^):,{\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}

si los coeficientes de la serie de Taylor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}, con continuidadincógnita{\displaystyle x}, coinciden con los coeficientes de la serie de Newton deF~(norte){\displaystyle {\tilde {f}}(n)}, con enteronorte{\displaystyle n},

F(incógnita)=∑k=0∞Fkincógnitakk¡,F~(norte)=∑k=0∞Fknortek_k¡,Fk=∂incógnitakF(0)=ΔnortekF~(0),{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}

conk{\displaystyle k}derivada parcial -ésima∂incógnitakF(0){\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}enincógnita=0{\displaystyle x=0}. Las funcionesF{\displaystyle f}yF~{\displaystyle {\tilde {f}}}están relacionados a través de la llamada transformación de orden normal.norte[F]{\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}de acuerdo a

F~(norte)=norteincógnita[F(incógnita)](norte)=1Γ(−norte)∫−∞0dincógnitamiincógnitaF(incógnita)(−incógnita)−(norte+1)=1Γ(−norte)METRO−incógnita[miincógnitaF(incógnita)](−norte),{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}

que puede expresarse en términos de la transformada de MellinMETRO{\displaystyle {\mathcal {M}}}, véase [ 1 ] para más detalles.

Fermiones

Los fermiones son partículas que satisfacen la estadística de Fermi-Dirac . A continuación, examinaremos el orden normal de los productos de los operadores de creación y aniquilación fermiónica.

Fermiones individuales

Para un solo fermión hay dos operadores de interés:

  • F^†{\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}: el operador de creación del fermión.
  • F^{\displaystyle {\hat {f}}}: el operador de aniquilación del fermión.

Estas satisfacen las relaciones de anticonmutación.

[F^†,F^†]+=0{\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}
[F^,F^]+=0{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}
[F^,F^†]+=1{\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}

dónde[A,B]+≡AB+BA{\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}denota el anticonmutador . Estos pueden reescribirse como

F^†F^†=0{\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}
F^F^=0{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}
F^F^†=1−F^†F^.{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}

Para definir el orden normal de un producto de operadores de creación y aniquilación fermiónica, debemos tener en cuenta el número de intercambios entre operadores vecinos. Obtenemos un signo negativo por cada intercambio de este tipo.

Ejemplos

1. Comenzamos de nuevo con los casos más sencillos:

:F^†F^:=F^†F^{\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

Esta expresión ya está en orden normal, por lo que no se modifica nada. En el caso inverso, introducimos un signo menos porque tenemos que cambiar el orden de dos operadores:

:F^F^†:=−F^†F^{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

Estos se pueden combinar, junto con las relaciones de anticonmutación, para demostrar

F^F^†=1−F^†F^=1+:F^F^†:{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:}

o

F^F^†−:F^F^†:=1.{\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}

Esta ecuación, que tiene la misma forma que el caso bosónico anterior, se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

2. El orden normal de cualquier caso más complicado da cero porque habrá al menos un operador de creación o aniquilación que aparecerá dos veces. Por ejemplo:

:F^F^†F^F^†:=−F^†F^†F^F^=0{\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}

Fermiones múltiples

Paranorte{\displaystyle N}diferentes fermiones hay2norte{\displaystyle 2N}operadores:

  • F^i†{\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}: elith{\displaystyle i^{th}}operador de creación de fermiones.
  • F^i{\displaystyle {\hat {f}}_{i}}: elith{\displaystyle i^{th}}operador de aniquilación de fermiones.

Aquíi=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,N}.

Estas satisfacen las relaciones de anticonmutación:

[F^i†,F^j†]+=0{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}
[F^i,F^j]+=0{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}
[F^i,F^j†]+=δij{\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}

dóndei,j=1,…,norte{\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}yδij{\displaystyle \delta _{ij}}denota el delta de Kronecker .

Estos pueden reescribirse como:

F^i†F^j†=−F^j†F^i†{\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}
F^iF^j=−F^jF^i{\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}
F^iF^j†=δij−F^j†F^i.{\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}

Al calcular el orden normal de los productos de operadores fermiónicos, debemos tener en cuenta el número de intercambios de operadores vecinos necesarios para reordenar la expresión. Es como si supusiéramos que los operadores de creación y aniquilación anticonmutan y luego reordenáramos la expresión para asegurar que los operadores de creación estén a la izquierda y los de aniquilación a la derecha, considerando siempre las relaciones de anticonmutación.

Ejemplos

1. Para dos fermiones diferentes (norte=2{\displaystyle N=2}) tenemos

:F^1†F^2:=F^1†F^2{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

Aquí la expresión ya está ordenada normalmente, así que nada cambia.

:F^2F^1†:=−F^1†F^2{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

Aquí introducimos un signo menos porque hemos intercambiado el orden de dos operadores.

:F^2F^1†F^2†:=F^1†F^2†F^2=−F^2†F^1†F^2{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}

Tenga en cuenta que el orden en el que escribimos los operadores aquí, a diferencia del caso bosónico, sí importa .

2. Para tres fermiones diferentes (norte=3{\displaystyle N=3}) tenemos

:F^1†F^2F^3:=F^1†F^2F^3=−F^1†F^3F^2{\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}

Nótese que dado que (por las relaciones de anticonmutación)F^2F^3=−F^3F^2{\displaystyle {\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}En este caso, el orden en que escribimos los operadores sí importa .

De manera similar tenemos

:F^2F^1†F^3:=−F^1†F^2F^3=F^1†F^3F^2{\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}
:F^3F^2F^1†:=F^1†F^3F^2=−F^1†F^2F^3{\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}

Usos en la teoría cuántica de campos

El valor esperado del vacío de un producto ordenado normal de operadores de creación y aniquilación es cero. Esto se debe a que, denotando el estado de vacío por|0⟩{\displaystyle |0\rangle }Los operadores de creación y aniquilación satisfacen

⟨0|a^†=0ya^|0⟩=0{\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0}

(aquía^†{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}ya^{\displaystyle {\hat {a}}}son operadores de creación y aniquilación (ya sean bosónicos o fermiónicos).

DejarO^{\displaystyle {\hat {O}}}denotan un producto no vacío de operadores de creación y aniquilación. Aunque esto puede satisfacer

⟨0|O^|0⟩≠0,{\displaystyle \langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,}

tenemos

⟨0|:O^:|0⟩=0.{\displaystyle \langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.}

Los operadores ordenados normalmente son particularmente útiles al definir un hamiltoniano cuántico . Si el hamiltoniano de una teoría está en orden normal, entonces la energía del estado fundamental será cero: ⟨0|H^|0⟩=0{\displaystyle \langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0}.

Campos libres

Con dos campos libres φ y χ,

:ϕ(incógnita)χ(y):=ϕ(incógnita)χ(y)−⟨0|ϕ(incógnita)χ(y)|0⟩{\displaystyle :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }

dónde|0⟩{\displaystyle |0\rangle }es de nuevo el estado de vacío. Cada uno de los dos términos del lado derecho típicamente diverge en el límite cuando y se acerca a x, pero la diferencia entre ellos tiene un límite bien definido. Esto nos permite definir :φ(x)χ(x):.

Teorema de Wick

El teorema de Wick establece la relación entre el producto ordenado en el tiempo denorte{\displaystyle n}campos y una suma de productos ordenados normales. Esto puede expresarse paranorte{\displaystyle n}como llano

T[ϕ(incógnita1)⋯ϕ(incógnitanorte)]=:ϕ(incógnita1)⋯ϕ(incógnitanorte):+∑permanente⟨0|T[ϕ(incógnita1)ϕ(incógnita2)]|0⟩:ϕ(incógnita3)⋯ϕ(incógnitanorte):+∑permanente⟨0|T[ϕ(incógnita1)ϕ(incógnita2)]|0⟩⟨0|T[ϕ(incógnita3)ϕ(incógnita4)]|0⟩:ϕ(incógnita5)⋯ϕ(incógnitanorte):⋮+∑permanente⟨0|T[ϕ(incógnita1)ϕ(incógnita2)]|0⟩⋯⟨0|T[ϕ(incógnitanorte−1)ϕ(incógnitanorte)]|0⟩{\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle  :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}

donde la suma se realiza sobre todas las formas distintas en que se pueden emparejar campos. El resultado paranorte{\displaystyle n}El aspecto extraño es el mismo excepto por la última línea que dice

∑permanente⟨0|T[ϕ(incógnita1)ϕ(incógnita2)]|0⟩⋯⟨0|T[ϕ(incógnitanorte−2)ϕ(incógnitanorte−1)]|0⟩ϕ(incógnitanorte).{\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}

Este teorema proporciona un método sencillo para calcular los valores esperados en el vacío de productos de operadores ordenados en el tiempo y fue la motivación detrás de la introducción del ordenamiento normal.

Definiciones alternativas

La definición más general de ordenamiento normal implica dividir todos los campos cuánticos en dos partes (por ejemplo, véase Evans y Steer 1996). ϕi(incógnita)=ϕi+(incógnita)+ϕi−(incógnita){\displaystyle \phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)}. En un producto de campos, los campos se dividen en dos partes y laϕ+(incógnita){\displaystyle \phi ^{+}(x)}las piezas se mueven de manera que siempre estén a la izquierda de todas lasϕ−(incógnita){\displaystyle \phi ^{-}(x)}partes. En el caso usual considerado en el sistema de referencia en reposo de la partícula, elϕ+(incógnita){\displaystyle \phi ^{+}(x)}contiene únicamente operadores de creación, mientras que elϕ−(incógnita){\displaystyle \phi ^{-}(x)}Contiene únicamente operadores de aniquilación. Como se trata de una identidad matemática, se pueden dividir los campos de cualquier forma. Sin embargo, para que este procedimiento sea útil, se requiere que el producto ordenado normal de cualquier combinación de campos tenga un valor esperado de cero.

⟨:ϕ1(incógnita1)ϕ2(incógnita2)…ϕnorte(incógnitanorte):⟩=0{\displaystyle \langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0}

También es importante para los cálculos prácticos que todos los conmutadores (anticonmutadores para campos fermiónicos) de todosϕi+{\displaystyle \phi _{i}^{+}}yϕj−{\displaystyle \phi _{j}^{-}}Todos son números c. Estas dos propiedades implican que podemos aplicar el teorema de Wick de la forma habitual, transformando los valores esperados de productos ordenados en el tiempo de cuerpos en productos de pares de números c , las contracciones. En este contexto generalizado, la contracción se define como la diferencia entre el producto ordenado en el tiempo y el producto ordenado normal de un par de cuerpos.

El ejemplo más sencillo se encuentra en el contexto de la teoría cuántica de campos térmica (Evans y Steer 1996). En este caso, los valores esperados de interés son conjuntos estadísticos, trazas sobre todos los estados ponderados por exp⁡(−βH^){\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}})}Por ejemplo, para un oscilador armónico cuántico bosónico simple , tenemos que el valor esperado térmico del operador número es simplemente la distribución de Bose-Einstein.

⟨b^†b^⟩=Tr(mi−βωb^†b^b^†b^)Tr(mi−βωb^†b^)=1miβω−1{\displaystyle \langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}}

Así que aquí el operador numéricob^†b^{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}está ordenado normalmente en el sentido habitual utilizado en el resto del artículo, pero sus valores esperados térmicos no son cero. Aplicar el teorema de Wick y realizar cálculos con el ordenamiento normal habitual en este contexto térmico es posible, pero computacionalmente impracticable. La solución es definir un ordenamiento diferente, de tal manera queϕi+{\displaystyle \phi _{i}^{+}}yϕj−{\displaystyle \phi _{j}^{-}}son combinaciones lineales de los operadores originales de aniquilación y creación. Las combinaciones se eligen para asegurar que los valores esperados térmicos de los productos ordenados normales sean siempre cero, por lo que la división elegida dependerá de la temperatura.

Referencias

  1. 1 2 König, Jürgen; Hucht, Alfred (2021-01-13). "Expansión en serie de Newton de funciones de operadores bosónicos" . SciPost Physics . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode : 2021ScPP...10....7K . doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN 2542-4653 . S2CID 221293056 .  
  • F. Mandl, G. Shaw, Teoría cuántica de campos, John Wiley & Sons, 1984.
  • S. Weinberg, La teoría cuántica de campos (Volumen I) Cambridge University Press (1995)
  • TS Evans, DA Steer, Teorema de Wick a temperatura finita , Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268