La cúpula de Norton

La cúpula de Norton es un experimento mental que muestra un sistema no determinista dentro de los límites de la mecánica newtoniana . Fue ideado por John D. Norton en 2003. ^{[1] [2]} Es un caso límite especial de una clase más general de ejemplos de 1997 debido a Sanjay Bhat y Dennis Bernstein. ^[3] El problema de la cúpula de Norton puede considerarse un problema en física, matemáticas y filosofía. ^{[4] [5] [6] [7]}

El modelo consiste en una partícula idealizada que inicialmente se encuentra inmóvil en el vértice de una cúpula idealizada radialmente simétrica sin fricción descrita por la ecuación ^{[6] [7].}

${\displaystyle h={\frac {2b^{2}}{3g}}r^{\frac {3}{2}}\;;\;0\leq r<{\frac {g^{2}}{b^{4}}},}$

donde h es el desplazamiento vertical desde la parte superior de la cúpula hasta un punto en la cúpula, r es la distancia geodésica desde el vértice de la cúpula hasta ese punto (en otras palabras, una coordenada radial r está "inscrita" en la superficie), g es la aceleración debida a la gravedad y b es una constante de proporcionalidad. ^[6]

De la segunda ley de Newton , el componente tangente de la aceleración en una masa puntual que reposa sin fricción sobre la superficie es . ^[6]${\displaystyle a_{\paralelo}=b^{2}{\sqrt {r}}}$

Norton demuestra que existen dos clases de soluciones matemáticas para esta ecuación. En la primera, la partícula permanece en el vértice de la cúpula para siempre. En la segunda, la partícula permanece en el vértice de la cúpula durante un tiempo y luego, después de un período de tiempo arbitrario, comienza a deslizarse hacia abajo de la cúpula en una dirección arbitraria. La aparente paradoja en este segundo caso es que esto parecería ocurrir sin ninguna razón discernible y sin que ninguna otra entidad ejerza sobre ella ninguna fuerza radial, aparentemente en contra de la intuición física y de los conceptos intuitivos normales de causa y efecto , pero el movimiento sigue siendo completamente consistente con las matemáticas de las leyes del movimiento de Newton . ^{[ cita requerida ]}

Para ver que todas estas ecuaciones de movimiento son soluciones físicamente posibles, es útil utilizar la reversibilidad temporal de la mecánica newtoniana. Es posible hacer rodar una pelota por la cúpula de tal manera que alcance el vértice en un tiempo finito y con energía cero, y se detenga allí. Por inversión temporal, es una solución válida que la pelota descanse en la parte superior durante un tiempo y luego ruede hacia abajo en cualquier dirección. Sin embargo, el mismo argumento aplicado a los tipos habituales de cúpulas (por ejemplo, un hemisferio) falla, porque una pelota lanzada con la energía justa para llegar a la cima y permanecer allí en realidad tardaría un tiempo infinito en hacerlo. ^{[8] [ fuente no primaria necesaria ]}

Aunque se han hecho muchas críticas al experimento mental de Norton, como por ejemplo que viola el principio de continuidad de Lipschitz (la fuerza que aparece en la segunda ley de Newton no es una función continua de Lipschitz de la trayectoria de la partícula; esto permite evadir el teorema de unicidad local para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias), o que viola los principios de simetría física , o que de alguna otra manera es "no físico", no hay consenso entre sus críticos sobre por qué lo consideran inválido.

Sin embargo, una resolución sencilla del experimento mental es la siguiente:

Todo el argumento depende del comportamiento de la partícula en el punto , durante un período de tiempo en el que tiene velocidad cero. La mecánica newtoniana tradicional diría que la posición de la partícula sería, infinitesimalmente, ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle h={\frac {F}{2m}}(\Delta t)^{2}}$,

durante un breve período de tiempo , pero como la segunda derivada de la superficie no existe en este punto, la fuerza es indeterminada. Por lo tanto, es completamente lógico que el movimiento infinitesimal del objeto también sea indeterminado. ${\displaystyle \Delta t}$

Esto traslada la paradoja a la cuestión de si una superficie sin segunda derivada no es física.

• Indeterminismo
• Ruptura espontánea de la simetría

• Página web de John Norton sobre el problema del domo Norton