Desigualdad

En matemáticas , una inecuación es una proposición que relaciona dos valores, ya sea una desigualdad estricta ("mayor que", < , o "menor que", > ) o una relación " distinto de " ( ≠ ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Generalmente se escribe en forma de un par de expresiones que denotan los valores en cuestión, con un signo relacional entre ambos lados que indica la relación de desigualdad específica. Algunos ejemplos de inecuaciones son:

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle x+y+z<1}$
• ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

A veces, el término "inecuación" se restringe a la relación "distinto de", ^{[ 2 ] [ 3 ]} o se amplía para incluir las relaciones "menor o igual que tp", ≤ , y "mayor o igual que", ≥ .

Se utiliza una notación abreviada para la conjunción de varias inecuaciones que involucran expresiones comunes, encadenándolas. Por ejemplo, la cadena

${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$

es una abreviatura de

${\displaystyle 0\leq a~~\mathrm {y} ~~a<b~~\mathrm {y} ~~b\leq 1}$

lo cual también implica que${\displaystyle 0<b}$y${\displaystyle a<1}$.

En raras ocasiones, se utilizan cadenas sin tales implicaciones sobre términos distantes. Por ejemplo${\displaystyle i\neq 0\neq j}$es una abreviatura de${\displaystyle i\neq 0~~\mathrm {y} ~~0\neq j}$, lo cual no implica${\displaystyle i\neq j.}$Similarmente,${\displaystyle ac}$es una abreviatura de${\displaystyle a<b~~\mathrm {y} ~~b>c}$, lo cual no implica ningún orden de${\displaystyle a}$y${\displaystyle c}$. ^{[ 4 ]}

De forma similar a la resolución de ecuaciones , la resolución de inecuaciones consiste en encontrar qué valores (números, funciones, conjuntos, etc.) satisfacen una condición expresada en forma de inecuación o de varias inecuaciones. Estas expresiones contienen una o más incógnitas , que son variables libres cuyos valores se buscan para que se cumpla la condición. En concreto, lo que se busca no son necesariamente valores reales, sino, en general, expresiones. Una solución de la inecuación es una asignación de expresiones a las incógnitas que satisface la(s) inecuación(es); es decir, expresiones que, al sustituir las incógnitas, convierten las inecuaciones en proposiciones verdaderas. A menudo, se proporciona una expresión objetivo adicional (es decir, una ecuación de optimización) que debe minimizarse o maximizarse mediante una solución óptima . ^{[ 5 ]}

Por ejemplo,

${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}$

es una conjunción de inecuaciones, escrita en parte como cadenas (donde${\displaystyle \land }$puede leerse como "y"); el conjunto de sus soluciones se muestra en azul en la imagen (las líneas roja, verde y naranja corresponden a la primera, segunda y tercera conjunción, respectivamente). Para un ejemplo más extenso, consulte Programación lineal#Ejemplo .

El soporte informático para la resolución de inecuaciones se describe en la programación con restricciones ; en particular, el algoritmo simplex encuentra soluciones óptimas para inecuaciones lineales. ^{[ 6 ]} El lenguaje de programación Prolog III también admite algoritmos de resolución para clases específicas de inecuaciones (y otras relaciones) como una característica básica del lenguaje. Para más información, consulte la programación lógica con restricciones .

Generalmente, debido a las propiedades de ciertas funciones (como las raíces cuadradas), algunas inecuaciones son equivalentes a una combinación de varias otras. Por ejemplo, la inecuación${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}$es lógicamente equivalente a la combinación de las siguientes tres inecuaciones:

1. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle g(x)>0}$
3. ${\displaystyle f(x)<\left(g(x)\right)^{2}}$

• Relación de separación : una forma de desigualdad en matemáticas constructivas
• Ecuación
• Signo de igual
• Desigualdad (matemáticas)
• Operador relacional