Anillo de Novikov

En matemáticas, dado un subgrupo aditivo${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} }$, el anillo de Novikov${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$de${\displaystyle \Gamma }$es el subanillo de${\displaystyle \mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]}$^{[ 1 ]} que consiste ensumas formales${\displaystyle \sum n_{\gamma _{i}}t^{\gamma _{i}}}$de tal manera que${\displaystyle \gamma _{1}>\gamma _{2}>\cdots }$y${\displaystyle \gamma _{i}\to -\infty }$El concepto fue introducido por Sergei Novikov en los artículos que dieron inicio a la generalización de la teoría de Morse mediante el uso de una forma cerrada en lugar de una función. Este concepto se utiliza , entre otros campos, en la cohomología cuántica .

El anillo de Novikov${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$es un dominio ideal principal . Sea S el subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Z} [\Gamma ]}$que consiste en aquellos con término principal 1. Dado que los elementos de S son elementos unitarios de${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$la localización${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )[S^{-1}]}$de${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$con respecto a S es un subanillo de${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$llamada la "parte racional" de${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$; también es un dominio ideal principal .

Dada una función suave f en una variedad suave${\displaystyle M}$Con puntos críticos no degenerados, la teoría de Morse usual construye un complejo de cadena libre.${\displaystyle C_{*}(f)}$de tal manera que el rango (entero) de${\displaystyle C_{p}}$es el número de puntos críticos de f de índice p (llamado número de Morse). Calcula la homología (integral) de${\displaystyle M}$(cf. homología de Morse ):

${\displaystyle H^{*}(C_{*}(f))\cong H^{*}(M,\mathbb {Z} )}$

En analogía con esto, se pueden definir los "números de Novikov". Sea X un poliedro conexo con un punto base. Cada clase de cohomología${\displaystyle \xi \in H^{1}(X,\mathbb {R} )}$puede considerarse como un funcional lineal en el primer grupo de homología.${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {R} )}$; cuando se compone con el homomorfismo de Hurewicz , puede verse como un homomorfismo de grupo.${\displaystyle \xi \colon \pi =\pi _{1}(X)\to \mathbb {R} }$. Por la propiedad universal, este mapa a su vez da un homomorfismo de anillos,

${\displaystyle \phi _{\xi }\colon \mathbb {Z} [\pi ]\to \operatorname {Nov} =\operatorname {Nov} (\mathbb {R} )}$,

haciendo${\displaystyle \operatorname {Nov} }$un módulo sobre${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$Dado que X es un poliedro conexo , un sistema de coeficientes locales sobre él se corresponde uno a uno con un${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$-módulo. Deje${\displaystyle L_{\xi }}$ser un sistema de coeficientes locales correspondiente a${\displaystyle \operatorname {Nov} }$con la estructura del módulo dada por${\displaystyle \phi _{\xi }}$. El grupo de homología${\displaystyle H_{p}(X,L_{\xi })}$es un módulo generado finitamente sobre${\displaystyle \operatorname {Nov} ,}$que es, por el teorema de estructura , la suma directa de su parte libre y su parte de torsión. El rango de la parte libre se llama número de Novikov-Betti y se denota por${\displaystyle b_{p}(\xi )}$. El número de módulos cíclicos en la parte de torsión se denota por${\displaystyle q_{p}(\xi )}$. Si${\displaystyle \xi =0}$,${\displaystyle L_{\xi }}$es trivial y${\displaystyle b_{p}(0)}$es el número de Betti habitual de X.

El análogo de las desigualdades de Morse también se aplica a los números de Novikov (véase la referencia por ahora).

• Farber, Michael (2004). Topología de formas cerradas de orden 1. Encuestas y monografías matemáticas. Vol.  108. Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-3531-9. Zbl 1052.58016 . 
• SP Novikov, Funciones y funcionales multivaluados: Un análogo de la teoría de Morse. Matemáticas Soviéticas - Doklady 24 (1981), 222–226.
• SP Novikov: El formalismo hamiltoniano y un análogo multivaluado de la teoría de Morse. Russian Mathematical Surveys 35:5 (1982), 1–56.

• ¿Diferentes definiciones de anillo de Novikov?