En ningún lugar denso

En matemáticas , un subconjunto de un espacio topológico se denomina denso en ninguna parte ^{[ 1 ] [ 2 ]} o raro ^{[ 3 ]} si su clausura tiene interior vacío . En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están agrupados estrechamente (según la topología del espacio) en ningún punto. Por ejemplo, los enteros no son densos en ninguna parte entre los reales , mientras que el intervalo (0, 1) no lo es.

Una unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte se denomina conjunto meagre . Los conjuntos meagre desempeñan un papel importante en la formulación del teorema de la categoría de Baire , que se utiliza en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

La densidad no puede caracterizarse de diferentes (pero equivalentes) maneras. La definición más simple es la de densidad:

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que es denso en otro conjunto.${\displaystyle U}$si la intersección${\displaystyle S\cap U}$es un subconjunto denso de${\displaystyle U.}$El conjunto${\displaystyle S}$no es denso ni raro en ningún lugar${\displaystyle X}$si${\displaystyle S}$no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío${\displaystyle U}$de${\displaystyle X.}$

Al expandir la negación de densidad, es equivalente a que cada conjunto abierto no vacío${\displaystyle U}$contiene un subconjunto abierto no vacío disjunto de${\displaystyle S.}$^{[ 4 ]} Basta con comprobar cualquiera de las condiciones sobre unabasepara la topología en${\displaystyle X.}$ En particular, la densidad no se encuentra en ninguna parte.${\displaystyle \mathbb {R} }$A menudo se describe como denso en ningún intervalo abierto . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La noción de conjunto denso en ninguna parte es siempre relativa a un espacio circundante dado. Supongamos que${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$dónde${\displaystyle Y}$tiene la topología del subespacio inducida por${\displaystyle X.}$ El conjunto${\displaystyle A}$puede que no haya ninguna densidad en${\displaystyle X,}$pero no en ningún lugar denso en${\displaystyle Y.}$ Cabe destacar que un conjunto siempre es denso en su propia topología de subespacio. Por lo tanto, si${\displaystyle A}$es no vacío, no será denso en ninguna parte como subconjunto de sí mismo. Sin embargo, se cumplen los siguientes resultados: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• Si${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle Y}$está abierto en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle Y}$es denso en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle X.}$

Un conjunto no es denso en ninguna parte si y solo si su clausura lo es. ^{[ 1 ]}

Todo subconjunto de un conjunto no denso en ninguna parte es no denso en ninguna parte, y una unión finita de conjuntos no densos en ninguna parte es no denso en ninguna parte. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Por lo tanto, los conjuntos no densos en ninguna parte forman un ideal de conjuntos , una noción adecuada de conjunto despreciable . En general, no forman un 𝜎-ideal , ya que los conjuntos escasos , que son las uniones numerables de conjuntos no densos en ninguna parte, no necesariamente son no densos en ninguna parte. Por ejemplo, el conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El límite de todo conjunto abierto y de todo conjunto cerrado es cerrado y no denso en ningún punto. ^{[ 14 ] [ 2 ]} Un conjunto cerrado no es denso en ningún punto si y solo si es igual a su límite, ^{[ 14 ]} si y solo si es igual al límite de algún conjunto abierto ^{[ 2 ]} (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el complemento del conjunto). Un conjunto arbitrario${\displaystyle A\subsetequ X}$no es denso en ninguna parte si y solo si es un subconjunto del límite de algún conjunto abierto (por ejemplo, el conjunto abierto puede tomarse como el exterior de${\displaystyle A}$).

• El conjunto${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$y su cierre${\displaystyle S\cup \{0\}}$no son densos en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ya que el cierre tiene el interior vacío.
• El conjunto de Cantor es un conjunto no numerable denso en ninguna parte.${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$visto como el eje horizontal en el plano euclidiano no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$pero los racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$no lo son (son densos en todas partes).
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$: es denso en el intervalo abierto${\displaystyle (a,b),}$y en particular el interior de su cierre es${\displaystyle (a,b).}$
• El conjunto vacío no es denso en ningún lugar. En un espacio discreto , el conjunto vacío es el único conjunto no denso en ningún lugar. ^{[ 15 ]}
• En un espacio T ₁ , cualquier conjunto unitario que no sea un punto aislado no es denso en ninguna parte.
• Un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico es denso o no es denso en ninguna parte. ^{[ 16 ]}

Un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente despreciable en todos los sentidos. Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es el intervalo unitario${\displaystyle [0,1],}$No solo es posible tener un conjunto denso de medida de Lebesgue cero (como el conjunto de los racionales), sino que también es posible tener un conjunto no denso en ninguna parte con medida positiva. Un ejemplo de ello es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor .

Para otro ejemplo (una variante del conjunto de Cantor ), elimine de${\displaystyle [0,1]}$todas las fracciones diádicas , es decir fracciones de la forma${\displaystyle a/2^{n}}$en términos mínimos para enteros positivos${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$y los intervalos que los rodean:${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ Dado que para cada${\displaystyle n}$Esto elimina intervalos que suman como máximo${\displaystyle 1/2^{n+1},}$El conjunto no denso que queda después de que se hayan eliminado todos esos intervalos tiene una medida de al menos${\displaystyle 1/2}$(de hecho, un poco más${\displaystyle 0.535\ldots }$debido a superposiciones ^{[ 17 ]} ) y por lo tanto, en cierto sentido, representa la mayor parte del espacio ambiente${\displaystyle [0,1].}$ Este conjunto no es denso en ningún lugar, ya que es cerrado y tiene un interior vacío: cualquier intervalo${\displaystyle (a,b)}$no está contenido en el conjunto ya que las fracciones diádicas en${\displaystyle (a,b)}$han sido eliminados.

Generalizando este método, se pueden construir en el intervalo unitario conjuntos no densos de cualquier medida menor que${\displaystyle 1,}$aunque la medida no puede ser exactamente 1 (porque de otro modo el complemento de su clausura sería un conjunto abierto no vacío con medida cero, lo cual es imposible). ^{[ 18 ]}

Para otro ejemplo más sencillo, si${\displaystyle U}$es cualquier subconjunto abierto denso de${\displaystyle \mathbb {R} }$teniendo medida de Lebesgue finita entonces${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$es necesariamente un subconjunto cerrado de${\displaystyle \mathbb {R} }$tener medida de Lebesgue infinita que tampoco es densa en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$(porque su interior topológico está vacío). Tal es un subconjunto abierto denso.${\displaystyle U}$La medida de Lebesgue finita se construye comúnmente al demostrar que la medida de Lebesgue de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$es${\displaystyle 0.}$Esto se puede hacer eligiendo cualquier biyección.${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$(en realidad es suficiente para${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ser simplemente una sobreyección ) y para cada${\displaystyle r>0,}$dejar $${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$ (aquí, la notación de suma de Minkowski)${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$se utilizó para simplificar la descripción de los intervalos). El subconjunto abierto${\displaystyle U_{r}}$es denso en${\displaystyle \mathbb {R} }$porque esto es cierto para su subconjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$y su medida de Lebesgue no es mayor que${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ Tomar la unión de intervalos cerrados, en lugar de abiertos, produce el subconjunto F _𝜎.$${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$ que satisface${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$Porque${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$es un subconjunto del conjunto denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$tampoco es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Porque${\displaystyle \mathbb {R} }$es un espacio Baire , el conjunto $${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$ es un subconjunto denso de${\displaystyle \mathbb {R} }$(lo que significa que al igual que su subconjunto${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle D}$No puede ser denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$) con${\displaystyle 0}$medida de Lebesgue que también es un subconjunto no escaso de${\displaystyle \mathbb {R} }$(eso es,${\displaystyle D}$es de la segunda categoría en${\displaystyle \mathbb {R} }$), lo que hace${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$un subconjunto comeager de${\displaystyle \mathbb {R} }$cuyo interior en${\displaystyle \mathbb {R} }$También está vacío; sin embargo,${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$si y solo si su cierre en${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene interior vacío. El subconjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$en este ejemplo se puede reemplazar por cualquier subconjunto denso contable de${\displaystyle \mathbb {R} }$y además, incluso el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$puede ser reemplazado por${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$para cualquier número entero${\displaystyle n>0.}$

• Espacio de Baire : concepto en topología 
• Conjunto de Smith-Volterra-Cantor : conjunto de números reales en matemáticas. 
• Conjunto escaso : subconjunto "pequeño" de un espacio topológico. 

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• Fremlin, D.  H. (2002). Teoría de la medida . Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
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• Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva